作业帮已知f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2,当x属于R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:30:01
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已知f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2,当x属于R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围?
已知f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2,当x属于R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围?
已知f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2,当x属于R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围?
楼上有错误.
例如 k = -3 ,不在楼上的解范围内,但是
f(x) = (3^x)^2 + 2 * 3^x + 2 = (3^x + 1)^2 + 1 也始终为正
我的解法:
f(x)=（3^2x）-[(k+1)3^x]+2
= (3^x)^2 - (k+1)*(3^x) + 2
设 3^x = t
f(t) = t^2 - (k+1)t + 2
x 属于 R 则 t > 0
题目转化为 :t>0 时,f(t) 恒为正值
f(t) = t^2 - 2*[(k+1)/2]x + [(k+1)/2]^2 - [(k+1)/2]^2 + 2
= [t - (k+1)/2]^2 + [8 - (k+1)^2]/4
f(t) 是 以 t = (k+1)/2 为对称轴,以 [8 - (k+1)^2]/4 为最小值的 开口向上的抛物线
为保证 t>0 时,f(t) 恒为正,则要求
1) 最小值 大于0
或者
2) 最小值小于0,但是 对称轴 在 t < 0 范围,且 f(0) ≥0
对于情况 1),则
8 - (k+1)^2 > 0
-1 - 2√2 < k < -1 + 2√2
对于情况 2) 则要求
(k+1)/2 < 0
f(0) = 2 > 0
解出 k < -1
取以上两个解的并集,则
k < -1 + 2√2
设3^x=b x∈R b>0
f(x)=b^2-(k+1)b+2
对称轴为(k+1)/2
因为开口朝上 对称点的Y值大于0 即可 即b=(k+1)/2 k>-1
(k+1)^2/4-(k+1)^2/2+2>0
(k+1)^2/4<2
(k+1)^2<8
-2√2