已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证：存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界，求证：存在a∈(-∞,+∞)，使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉

已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证：存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界，求证：存在a∈(-∞,+∞)，使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉
已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证：存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.
望高手给出严密证明.
已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界，求证：存在a∈(-∞,+∞)，使f ’’(a)=0。
1楼的回答我感觉有问题，如果f(x)=arctanx，它二阶可导且有界，满足题设，但是f'(x)始终不=0，你所说的f'(θ)=0的θ 和f'(ρ)=0的ρ 都是不存在的。
感谢大侠的回答。
再看看其他大侠是怎么做的。

已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界,求证：存在a∈(-∞,+∞),使f ’’(a)=0.望高手给出严密证明.已知f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界，求证：存在a∈(-∞,+∞)，使f ’’(a)=0。1楼的回答我感觉
如果不存在x∈(-∞,+∞),使f ’’(x)=0,则f ’’(x)不变号,不妨设对任意f ’’(x)>0,则f ’(x)是单调增加的,由lagrange中值定理得
f (x)= f (x0)+f ’(c)(x-x0),其中x0是(-∞,+∞)任意一点,x0

f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m，且均为有限实数。
令N为足够大的正数，则有，lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-...

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f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m，且均为有限实数。
令N为足够大的正数，则有，lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-m]/(x-N)
所以，当x趋近于+∞时，总存在一个θ满足N<θ<+∞时，lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0
令P为一足够小的负数，有，lim(x趋近于-∞)[f(P)-f(x)]/(P-x)
同理可得，总存在一个ρ满足P>ρ>-∞，使得lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)=0
由于对任意区间[ρ，θ]，总存在a∈[ρ，θ]，使得f"(a)=(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
所以，当ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时，
有f"(a)=limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
={lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)-lim(θ趋近于+∞)f'(θ)}*limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)1/(ρ-θ)
=0
由于，[ρ，θ]在ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时是集合(-∞,+∞)
所以，存在a∈(-∞,+∞)，使f"(a)=0。
把f'(θ)=0换成lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0就可以了。哈哈~01025585663523526363663
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f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m，且均为有限实数。
令N为足够大的正数，则有，lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-...

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f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
既然f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导且有界
则可设其下、上确界为。m,M可知M>m，且均为有限实数。
令N为足够大的正数，则有，lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)>=lim(x趋近于+∞)[m-M]/(x-N)
且lim(x趋近于+∞)[f(x)-f(N)]/(x-N)<=lim(x趋近于+∞)[M-m]/(x-N)
所以，当x趋近于+∞时，总存在一个θ满足N<θ<+∞时，lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0
令P为一足够小的负数，有，lim(x趋近于-∞)[f(P)-f(x)]/(P-x)
同理可得，总存在一个ρ满足P>ρ>-∞，使得lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)=0
由于对任意区间[ρ，θ]，总存在a∈[ρ，θ]，使得f"(a)=(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
所以，当ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时，
有f"(a)=limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)(f'(ρ)-f'(θ))/(ρ-θ)
={lim(ρ趋近于-∞)f'(ρ)-lim(θ趋近于+∞)f'(θ)}*limρ(趋近于-∞且θ趋近于+∞)1/(ρ-θ)
=0
由于，[ρ，θ]在ρ趋近于-∞且θ趋近于+∞时是集合(-∞,+∞)
所以，存在a∈(-∞,+∞)，使f"(a)=0。
把f'(θ)=0换成lim(θ趋近于+∞)f'(θ)=0就可以了。

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