双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的任一点到两条渐近线距离之积为定值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 06:33:23
双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的任一点到两条渐近线距离之积为定值

双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的任一点到两条渐近线距离之积为定值
双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的任一点到两条渐近线距离之积为定值

双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的任一点到两条渐近线距离之积为定值
设:双曲线上有任意一点A(x,y)
双曲线渐近线方程分别为y=b/a*x和y=-b/a*x
根据点到直线距离公式可知,点A到两渐近线距离分别为
|y-b/a*x|/√(b2/a2+1)和 |y+b/a*x|/√(b2/a2+1)
则,距离之积为
|y-b/a*x|/√(b2/a2+1)* |y+b/a*x|/√(b2/a2+1)
=|y-b/a*x|*|y+b/a*x|/(√(b2/a2+1)* √(b2/a2+1))
=|y2-b2/a2*x2|/(√(c2/a2)* √(c2/a2))
=|y2-b2/a2*x2|/(c2/a2)
∵x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
∴y2=b2*(x2/a2+1)
∴原式=|b2*(x2/a2+1)-(b2/a2)*x2|/(c2/a2)
=|b2|/(c2/a2)
∵双曲线中abc为定值,
∴双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的任一点到两条渐近线距离之积为定值
(最后可以把c用a和b表示,这步很容易,好累,也没有悬赏分,我做的对吧)
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