如何建立[0,1]到R的一一对应的映射?即：f:[0,1]-->Rx |-> 注意是闭区间[0,1]——感谢sunshine同学提醒是一一对应，单射+满射

如何建立[0,1]到R的一一对应的映射?即：f:[0,1]-->Rx |-> 注意是闭区间[0,1]——感谢sunshine同学提醒是一一对应，单射+满射
如何建立[0,1]到R的一一对应的映射?
即：f:[0,1]-->R
x |->
注意是闭区间[0,1]——感谢sunshine同学提醒
是一一对应，单射+满射

如何建立[0,1]到R的一一对应的映射?即：f:[0,1]-->Rx |-> 注意是闭区间[0,1]——感谢sunshine同学提醒是一一对应，单射+满射
建立[0,1]到R的一一对应的映射
这是一个"实变函数"课程中的典型问题,要用到集合"势"的概念.
在讲此题前,我先形象地说说"集合势",集合分有限集和无限集,
有限集的"势",就是元素的个数; 而对于无限集来说,它也有"哪一个无限集里的元素多"的比较.所以,针对无限集,元素个数的多少,就要用到"势"的概念.
如果两个集合A,B的势相等,我们就说"这两个无限集里的元素个数是一样多的"
那么如何说明"两个无限集里的元素个数是一样多的"呢?
这个问题对于有限集,很简单,分别数一下两个元素的个数,如果个数相等即可.但是当它们是无限集,你就没有办法数了.因为你数来数去它们都是无穷多个,永远也数不完.
这时,"实变函数"论里,就提出了判断两个无限集势大小的方法,就是利用了"一一对应(或者叫双射,既满又单),也就是说,如果两个无限集,找到一个映射f,而且f是一个双射,那么这两个集合就等势.所以,你的问题,其实就是要找[0,1]到R的双射f,即如果这个双射f是存在的,那么[0,1]与R等势.
事实上,我可以告诉你[0,1]与R是等势的.即这样的双射f存在.
为什么这样说呢,我分两步告诉你,
第一步,你要证明(0,1)与R等势
第二步,你要证明[0,1]与(0,1)等势
这样,由“等势”关系的传递性,知[0,1]与R等势
第一步,(0,1)与R等势,这非常好证明,因为
ctan(x) 就是一个从(0,pi)到R上的双射,因此,我把定义域(0,pi)压缩一下,自变量乘以pi,即为
g(x)=ctan(pi*x)就是一个从(0,1)到R上的双射.所以这样的双射找到了,是g(x)=ctan(pi*x).因此(0,1)与R等势
第二步,证明[0,1]与(0,1)等势
这里你一开始理解可能无从下手,但是有一个技巧,也就是要找一个从[0,1]到(0,1)的双射,是这样找的.
首先,把[0,1]和(0,1)分别分解如下：
[0,1]=(0,1)\Q ∪ （Q∪{0}∪{1}）
(0,1)=(0,1)\Q ∪ Q
上面的Q={1/n | n=2,3,4,.}是的集合（这是一个“可列集”,它是“势最小的”无限集）
这样我们其实把[0,1]和(0,1)都分解成了两部分
在它们的公共部分(0,1)\Q到(0,1)\Q上,我取一个恒等映射idx(x) 这里x∈(0,1)\Q
在它们的不同部分（Q∪{0}∪{1}）到Q上,我取映射h(x),
h(x)=
{
若x=0,h(x)=1/2;
若x=1,h(x)=1/3;
若x∈Q,即x=1/n (n=2,3,4...) ,则h(x)=h(1/(n+2)) (n=2,3,4.)
}
h(x)中的x∈（Q∪{0}∪{1}）
于是我令
p(x)=
{
若x∈(0,1)\Q,p(x)=idx(x);
若x∈(Q∪{0}∪{1}),p(x)=h(x);
}
这样构造出来的p(x)就是一个从[0,1]到(0,1)上的双射
也就证明了[0,1]与(0,1)等势
综合,第一步和第二步,我再取
f(x)=g(p(x))
即,f(x)是先从[0,1]通过p映到(0,1),再通过g由(0,1)映到R
就是让f是p与g的复合函数.
这样构造的f显然是双射,因为p与g都是双射.
所以你要的f找到了,同时也说明了[0,1]与R是等势的.
---------------------------------------------------
最后整理一下你要的f(x)一一对应表达式,
f(x)=g(p(x)),
其中
g(x)=ctan(pi*x),
p(x)={
若x∈(0,1)\Q,p(x)=idx(x);
若x∈(Q∪{0}∪{1}),p(x)=h(x);
}
这里的
idx(x)是等恒映射,
h(x)=
{
若x=0,h(x)=1/2;
若x=1,h(x)=1/3;
若x∈Q,即x=1/n (n=2,3,4...) ,则h(x)=h(1/(n+2)) (n=2,3,4.)
}
这就是你要的答案
---------------------------------------------------------------------

不会!!

还是不会啊

不会!!

tan(πx-π/2)可不可以咧？可是取不到0和1，在定义域（0，1）

y=tanπ(x-1/2) （0y(0)=-y(1)=-∝
..还是慢了。。

不会啊

不会啊 .

你是高中还是大学？
大学的话可以用高等函数定义啊
比方说tan 然后你再定义端口的值就可以了啊
用初等函数的话 那是不可能的
因为在闭区间内的初等函数都是连续的 而连续函数在闭区间内一定有max 和min 所以它取不到R
满意否？

我觉得是不是闭区间无所谓的,只要分段一下,直接给f(0)和f(1)定义一个数值,然后(0,1)用f(x)=tan(πx-π/2)定义就可以了

应该是
当X∈（0，1），F(x)=±tan(πx-π/2)，对称轴为X＝π／2，两侧分别到达正无穷大和负无穷大．
当X＝0或1时，F（X）＝任意数．
符合条件，绝对正确．

意思是每一个自然数都在[0,1]内有唯一的数与它对应.

这个可不可以X∈（0，1），F(x)=(x-0.5)/x(1-x),F(0)=-∝,
F(1)=+∝

不会啊

我觉得可以的，
因为线段上的点和直线上的点的数量应该相等
不过还没找到一一对应的方法，
就先占着位置，想到再说，同时希望有高手解决

我觉得挺简单的～～～集合a{x|x2=x x>=0},集合b{x|x属于R}就行了

[0,1]是不可能与全体实数有一一对应的，（0，1）就可以

我来构造一个具体的双射：
以下“->”表示用一次函数y=ax+b作映射。
1) [1/4, 3/4] -> [-1, 1];
2) [0, 1/8) -> [-2, -1);
[1/8, 1/8+1/16) -> [-3, -2);
[1/8+1/16, 1/8+1/16+1/32) -> [-4, -3);
......
...

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我来构造一个具体的双射：
以下“->”表示用一次函数y=ax+b作映射。
1) [1/4, 3/4] -> [-1, 1];
2) [0, 1/8) -> [-2, -1);
[1/8, 1/8+1/16) -> [-3, -2);
[1/8+1/16, 1/8+1/16+1/32) -> [-4, -3);
......
3) (1-1/8, 1] -> (1, 2];
(1-1/8-1/16, 1-1/8] -> (2, 3];
(1-1/8-1/16-1/32, 1-1/8-1/16] -> (3, 4];
......
完毕。

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倒数

先来看一个好理解的：
球面到整平面的映射 这里球面必须去掉一个点才能建立双射
一般称那点为北极点 如果不这样球面与平面是不能同胚的
同理[0,1]到R也不能同胚 只有（0，1）与R才能同胚
[0,1]就与R不能建立双射
说大一点这就是拓扑学研究的范畴...

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先来看一个好理解的：
球面到整平面的映射 这里球面必须去掉一个点才能建立双射
一般称那点为北极点 如果不这样球面与平面是不能同胚的
同理[0,1]到R也不能同胚 只有（0，1）与R才能同胚
[0,1]就与R不能建立双射
说大一点这就是拓扑学研究的范畴

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y=tanπ(x-1/2)

第一步：建立[0，1]到（0，1）的一一映射
g(x)=1/2,x=0;
1/4,x=1;
1/2^(n+2),x=1/2^n;
x,其它。
第二步：建立（0，1）到R的一一映射
f(x)=tan(Pi x-Pi/2) {说明，这里的Pi代表圆周率}
第三步：建立[0，1]到R的一一映射（由以上两步复合得到）<...

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第一步：建立[0，1]到（0，1）的一一映射
g(x)=1/2,x=0;
1/4,x=1;
1/2^(n+2),x=1/2^n;
x,其它。
第二步：建立（0，1）到R的一一映射
f(x)=tan(Pi x-Pi/2) {说明，这里的Pi代表圆周率}
第三步：建立[0，1]到R的一一映射（由以上两步复合得到）
F（x)=0,x=0;
-1,x=1;
tan(Pi/2^(n+2)-Pi/2),x=1/2^n;
tan(Pi x-Pi/2),其它。
这个解法应该是正确的，请仔细看看。

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我觉得题目有问题：
闭区间[0,1]是有界限的，而实数R(-∝,+∝)是开区间，也就是说R是没有边界的。一个有界限的集合能不能一一映射到一个没有边界的集合呢？我认为不可能。就拿+∝来说，它本身就是一个趋向性的概念，那么根据一一映射的概念，在[0,1]中必然有一个只能无限接近而又不能等于的数A，与之对应；并且在[0,1]中，由0或1到无限接近这个数的同时，由于一一映射，也就必然遍历R(-∝,...

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我觉得题目有问题：
闭区间[0,1]是有界限的，而实数R(-∝,+∝)是开区间，也就是说R是没有边界的。一个有界限的集合能不能一一映射到一个没有边界的集合呢？我认为不可能。就拿+∝来说，它本身就是一个趋向性的概念，那么根据一一映射的概念，在[0,1]中必然有一个只能无限接近而又不能等于的数A，与之对应；并且在[0,1]中，由0或1到无限接近这个数的同时，由于一一映射，也就必然遍历R(-∝,+∝)，即：没有“空闲”的数与数A一一对应，与前面矛盾。
不知想法是否正确，请指正。

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大学里,复变函数开始就学这个了..
一个习题而已..tanx x属于[0,1]*派是分之2.
搞定...

只要它的象不重复就可以
即A交B为空集
A并B属于R即可

这个很简单啊
最简单的一个：tan(x-0.5)*π

......不会

构造函数。只要定义域是R，值域是（0,1）即可。给出两种：
1.y=(1/pi)*(tan(x)+0.5*pi)
2.y=(x/(|x|+1)+1)/2