作业帮2的（1/x）次方大于x的a次方,x∈（0,1）求实数a的范围是x∈（0,1）都成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:25:51
2的（1/x）次方大于x的a次方,x∈（0,1）求实数a的范围是x∈（0,1）都成立
2的（1/x）次方大于x的a次方,x∈（0,1）求实数a的范围
是x∈（0,1）都成立
2的（1/x）次方大于x的a次方,x∈（0,1）求实数a的范围是x∈（0,1）都成立
2^(1/x)＞x^a
x∈(0,1)时,x^a是正的,2^(1/x)也是正数
用log(a,b)表示a为底b的对数
两边取自然对数,得
ln2^(1/x)＞ln(x^a)
∴(1/x)*ln2＞a*lnx
(1/a)*ln2＞xlnx
令y=xlnx
∴y'=(lnx)+1=ln(ex)
∴x∈(0,1/e)时,y'＜0,xlnx递减,
x∈(1/e,1)时,y'＞0,xlnx递增
∴ymin=(1/e)*ln(1/e)=-1/e
ymax=0
∴1/a＜(xlnx)/(ln2)
xlnx＜0,ln2＞0
∴(xlnx)/(ln2)＞0
∴a＜0时是恒成立的……①
(xlnx)/(ln2)∈(-1/(eln2),0)
∴当a＞0时,若要恒成立,则1/a≤-1/(eln2)
∴a≥-eln2……②
综上所述,a的取值范围是：(-∞,0)∪[-eln2,+∞)
此即所求
*2的（1/x）次方大于x的a次方，x∈（0,1）求实数a的范围
解析：设f(x)=2^(1/x)
F’(x)=2^(1/x)*ln2*(-1/x^2)<0，函数f(x)单调减
f(1)=2
设g(x)=x^a
g’(x)=ax^(a-1)
当a>0时，g’(x)>0，函数f(x)单调增
g(1)=1
∴当x∈（0,1）时，2^(1/...
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*2的（1/x）次方大于x的a次方，x∈（0,1）求实数a的范围
解析：设f(x)=2^(1/x)
F’(x)=2^(1/x)*ln2*(-1/x^2)<0，函数f(x)单调减
f(1)=2
设g(x)=x^a
g’(x)=ax^(a-1)
当a>0时，g’(x)>0，函数f(x)单调增
g(1)=1
∴当x∈（0,1）时，2^(1/x)>x^a，恒成立
当a<0时，g’(x)<0，函数f(x)单调减
令2^(1/x)= x^a
二边取对数1/x*ln2=alnx
∴a=ln2/(xlnx)
设h(x)= ln2/(xlnx)
H’(x)= -ln2(lnx+1)/(xlnx)^2
令-ln2(lnx+1)=0==>lnx=-1==>x=1/e
函数h(x)在x=1/e处取极大值-eln2
∴当x∈(0, 1/e] 2^(1/x)
∴当a∈(-eln2,+ ∞)时，2^(1/x)>x^a，恒成立
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设1/x=t
x∈（0,1）t∈(1,+无穷)
则 原式为
2^t>(1/t)^a
2^t>1/t^a
t^a>1/2^t
t^a>(1/2)^t
(1/x)^a>(1/2)^t
f(x)=(1/x)^a>(1/2)^(1/x)=g(x)
当0
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设1/x=t
x∈（0,1）t∈(1,+无穷)
则 原式为
2^t>(1/t)^a
2^t>1/t^a
t^a>1/2^t
t^a>(1/2)^t
(1/x)^a>(1/2)^t
f(x)=(1/x)^a>(1/2)^(1/x)=g(x)
当0
0
收起