一道梯形证明题在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,AB＝8cm,CD＝2cm,AD＝6cm．点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 13:05:24

一道梯形证明题在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,AB＝8cm,CD＝2cm,AD＝6cm．点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,
一道梯形证明题
在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,AB＝8cm,CD＝2cm,AD＝6cm．点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止)．设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值；
(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值,若不存在,请说明理由.

一道梯形证明题在等腰梯形ABCD中,AB‖DC,AB＝8cm,CD＝2cm,AD＝6cm．点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,
(1)过D做DE⊥AB于E,过C做CF⊥AB于F,则四边形是矩形.
所以DE=CF.
又AD=BC
所以Rt△ADE≌Rt△BCF．
所以AE＝BF
又CD＝2cm,AB=8cm,
所以EF＝CD＝2cm,
AE＝BF＝1/2×（8-2）＝3cm．
如果四边形APQD是直角梯形,则四边形DEPQ为矩形
所以CQ＝t,所以DQ=EP=2-t.
所以AP=AE+EP,
因为2t=3+2-t所以t=5/3．
（2）在Rt△ADE中,DE＝根号（36-9）＝3根号3
S梯形ABCD＝1/2×（8+2）×3根号3＝15根号3平方厘米
当S四边形PBCQ＝1/2S梯形ABCD时
如果点Q在CD上．即0≤t≤2,则CQ＝t
BP＝8-2t
S四边形PBCQ＝1/2（t+8-2t)×3根号3＝15根号3/2,
解得t=3（舍去）．
如果点Q在AD上,即2＜t≤4
过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H
sin∠ADE＝AE/AD＝1/2
所以∠ADE＝30度,则∠A＝60度
在Rt△AQG中,AQ＝8-t．
所以QD＝AQ×sin60度＝根号3（t-2)/2=15根号3/2．
即t^2-9t+17=0,解得t1＝（9+根号13）/2（舍去）
t2＝（9-根号13）/2．
则存在t=（9-根号13）/2四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的半