已知函数f(x)=sin²x+2cosx,求0≤x≤π/2,时的最大值及对应的x值

已知函数f(x)=sin²x+2cosx,求0≤x≤π/2,时的最大值及对应的x值
已知函数f(x)=sin²x+2cosx,求0≤x≤π/2,时的最大值及对应的x值

已知函数f(x)=sin²x+2cosx,求0≤x≤π/2,时的最大值及对应的x值
因为sin²x+cos²x=1
所以sin²x=1-cos²x
y=f(x)=-cos²x+2cosx+1
令cosx=t,因为0≤x≤π/2,所以0≤cosx≤1,即0≤t≤1；
y=-t²+2t+1
开口向下的二次抛物线,对称轴为t=1；
所以在区间0≤t≤1内是递增的,
所以最大值为t=1时,y=2；
即cosx=1,x=0；

f(x)=sin²x+2cosx=1-(cosx)^2+2cosx=-(cosx-1)^2+2
显然当=-(cosx-1)^2=0时，f(x)最大
所以cosx=1,又0≤x≤π/2，所以x=0
所以当x=0时，f(x)最大，最大值为2