数列题 用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）.（n+n）=2^n*1*2……(2n-1)n属于正整数从n=k到n=k+1时左边应增加的式子是?为什么

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:50:27
数列题 用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）.（n+n）=2^n*1*2……(2n-1)n属于正整数从n=k到n=k+1时左边应增加的式子是?为什么

数列题 用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）.（n+n）=2^n*1*2……(2n-1)n属于正整数从n=k到n=k+1时左边应增加的式子是?为什么
数列题
用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）.（n+n）=2^n*1*2……(2n-1)
n属于正整数
从n=k到n=k+1时左边应增加的式子是?
为什么

数列题 用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）.（n+n）=2^n*1*2……(2n-1)n属于正整数从n=k到n=k+1时左边应增加的式子是?为什么
注意n＝k时,n+n＝2k,
当n＝k+1时,n+n＝2k+2,
所以当n＝k+1时,左边应增加的式子是(2k+1)(2k+2).

定义 记1*2*3*4*…*n为n!,称为n的阶乘.规定0!=1.
(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)=((2n)!)/(n!)
求证 ((2n)!)/(n!)=(2^n)*1*3*5*7*…*(2n-1).
猜想 令n=1,则
(1+1)=2=(2^1)*1,
令n=2,则
(2+1)(2+2)=12=(2^2)*1*3...

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定义 记1*2*3*4*…*n为n!,称为n的阶乘.规定0!=1.
(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)=((2n)!)/(n!)
求证 ((2n)!)/(n!)=(2^n)*1*3*5*7*…*(2n-1).
猜想 令n=1,则
(1+1)=2=(2^1)*1,
令n=2,则
(2+1)(2+2)=12=(2^2)*1*3,
令n=3,则
(3+1)(3+2)(3+3)=120=(2^3)*1*3*5,
令n=4,则
(4+1)(4+2)(4+3)(4+4)=1680=(2^4)*1*3*5*7,
…
猜想(n+1)(n+2)(n+3)…(2n-1)(2n)=(2^n)*1*3*5*7*…*(2n-1).
证明 令n=1,则
(1+1)=(2^1)*1,符合猜想，
令n=k,则
(k+1)(k+2)(k+3)…(2k-1)(2k)=(2^k)*1*3*5*7*…*(2k-1),符合猜想，
令n=k+1,则
((k+1)+1)((k+1)+2)((k+1)+3)…(2(k+1)-1)(2(k+1))=(k+2)(k+3)(k+4)…(2k+1)(2k+2)=(2^(k+1)*1*3*5*7*…*(2k+1)),符合猜想.
故((2n)!)/(n!)=(2^n)*1*3*5*7*…*(2n-1).

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当n=k+1时，左边原式上加上一个[(k+1）+（k+1)]

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