作业帮如图3,梯形ABCD中,AD//BC,S梯形ABCD=S,S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3求证：√S1,√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的二根
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 01:09:19
如图3,梯形ABCD中,AD//BC,S梯形ABCD=S,S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3求证：√S1,√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的二根
如图3,梯形ABCD中,AD//BC,S梯形ABCD=S,S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3
求证：√S1,√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的二根
如图3,梯形ABCD中,AD//BC,S梯形ABCD=S,S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3求证：√S1,√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的二根
证明：∵AD//BC
∴△BOC∽△AOD
从而 OB^2:OD^2=S△BOC:S△AOD(相似三角形面积比等于对应边平方比)
则 OB:OD=√(S△BOC):√(S△AOD) ①
又 △AOB与△AOD等高,设为H
∴ S△AOB:S△AOD=(1/2*OB*H):(1/2*OD*H)
=OB:OD ②
由①②得 S△AOB:S△AOD=√(S△BOC):√(S△AOD)
则 S3:S1=√S2:√S1
∴S3=S1*√S2:√S1=√S1*√S2 ③
又 △ABC与△BCD同底,等高
∴ S△ABC=S△BCD ④
又 S△COD= S△BCD- S△BOC ⑤
S△AOB= S△ABC- S△BOC ⑥
由④⑤⑥得 S△COD=S△AOB=S3 ⑦
又 S△AOD=S1 ⑧
S△BOC=S2 ⑨
从而 S=S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD
由⑦⑧⑨得 S=S1+S2+S3+S3=S1+2S3+S2 ⑩
由③⑩得 S=S1+2*√S1*√S2+S2=(√S1+√S2)^2
∴√S=√S1+√S2 ⑾
由③⑾得 √S1*√S2=S3,√S1+√S2=√S
又 方程x^2-√S*x+S3=0 的两根和 X1+X2=√S,两根积 X1*X2=S3
∴根据韦达定理,得 √S1,√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的二根.
因为AD∥BC
所以△AOD∽△COB
所以OD/OB=OA/OC
因为△AOD和△AOB是等高的两个三角形
所以S1/S3=OD/OB
因为△AOB和△BOC是等高的两个三角形
所以S3/S2=OA/OC
因为OD/OB=OA/OC，S1/S3=OD/OB，S3/S2=OA/OC
所以S1/S3=S3/S2
所以(S3)^2...
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因为AD∥BC
所以△AOD∽△COB
所以OD/OB=OA/OC
因为△AOD和△AOB是等高的两个三角形
所以S1/S3=OD/OB
因为△AOB和△BOC是等高的两个三角形
所以S3/S2=OA/OC
因为OD/OB=OA/OC，S1/S3=OD/OB，S3/S2=OA/OC
所以S1/S3=S3/S2
所以(S3)^2=S1*S2
所以S3=√S1*√S2①
因为AD∥BC
所以A到BC的距离=D到BC的距离
所以S△ABC=S△BCD
所以S3=S△COD
所以S1+S2+2S3=S
由①可知
S1+S2+2√S1*√S2=S
所以(√S1^2+√S2^2)=S
所以√S1+√S2=S②
由①和②，结合根与系数的关系可知
√S1，√S2是方程x^2-√S*x+S3=0的两根
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