已知函数f(x)=x的三次方+2x,若f(cosx的平方-2m)+f(2msinx-2)小于0对于x属于R恒成立,求实数m的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 23:06:41
已知函数f(x)=x的三次方+2x,若f(cosx的平方-2m)+f(2msinx-2)小于0对于x属于R恒成立,求实数m的取值范围

已知函数f(x)=x的三次方+2x,若f(cosx的平方-2m)+f(2msinx-2)小于0对于x属于R恒成立,求实数m的取值范围
已知函数f(x)=x的三次方+2x,若f(cosx的平方-2m)+f(2msinx-2)小于0对于x属于R恒成立,求实数m的取值
范围

已知函数f(x)=x的三次方+2x,若f(cosx的平方-2m)+f(2msinx-2)小于0对于x属于R恒成立,求实数m的取值范围
f(x)=x³+2x
f'(x)=3x²+2≥2>0恒成立
∴f(x)为增函数
又f(-x)=-x³-2x=-f(x)
∴f(x)是奇函数
∴f(cos²x-2m)+f(2msinx-2)<0
<==> f(cos²x-2m)<-f(2msinx-2)
<==> f(cos²x-2m)<==>cos²x-2m<-2msinx+2
<==>1-sin²x-2m<-2msinx+2
<==>sin²x-2msinx+2m+1>0对于x属于R恒成立
设t=sinx∈[-1,1]
即t²-2mt+2m+1>0对t∈[-1,1]恒成立
g(t)=t²-2mt+2m+1=(t-m)²-m²+2m+1
当m<-1时,g(t)min=g(-1)=4m+2>0
==>m>-1/2,与m<-1交集为空集
当-1≤m≤1时,g(t)min=-m²+2m+1>0
即m²-2m-1<0解得
1-√2 ∴1-√2当m>1时,g(t)min=g(1)=2>0符合题意
综上,符合条件的m取值范围是m>1-√2

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