作业帮德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝ n(n+1)/2德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝n(n+1)/2．这个公式可以用一种叫做“交叉消项
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/24 22:43:41
德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝ n(n+1)/2德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝n(n+1)/2．这个公式可以用一种叫做“交叉消项
德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝ n(n+1)/2
德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝n(n+1)/2．
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：在“平方公式”（a+b）²=a²+2ab+b²中,取b=1,得2a+1=（a+1）²-a²．…（*）在（*）中分别取a=1,2,3,…,n,再左右分别相加,得2（1+2+3+…+n）+n×1=（22-12）+（32-22）+（42-32）+…+[n²-（n-1）²]+[（n+1）²-n²]=（n+1）2-1=n²+2n．即1+2+3+…+n＝n(n+1)/2.
（1）在“立方公式”中,取b=1,可得_______=（a+1）^3-a^3；
（2）在（1）得到的式子中,依次取a=1,2,3,…,n,分别写出你得到的式子；
（3）请你将（2）中得到的等式两边相加,并整理得出1²+2²+3²+…+n²的计算公式.
德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝ n(n+1)/2德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n＝n(n+1)/2．这个公式可以用一种叫做“交叉消项
（1）3a^2+3a+1=(a+1)^3-a^3
（2）这 n 个式子分别是
3*1^2+3*1+1=2^3-1^3
3*2^2+3*2+1=3^3-2^3
3*3^2+3*3+1=4^3-3^3
.
3*n^2+3*n+1=(n+1)^3-n^3
（3）把以上 n 个式子左右两边分别相加,可得
3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*(1+2+3+.+n)+n*1=(n+1)^3-1^3 ,
所以 3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*n(n+1)/2+n=n^3+3n^2+3n
3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)=n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n=1/2*n(n+1)(2n+1) ,
两边除以 3 得 1^2+2^2+3^2+.+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1) .