已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k＜0.⑴用k表示a·b；⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 14:12:43

已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k＜0.⑴用k表示a·b；⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.
已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k＜0.
⑴用k表示a·b；
⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.

已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k＜0.⑴用k表示a·b；⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.
|ka+b|=√3|a-kb|
==>(kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)2=3[(cosα-kcosβ)^2+(sinα-ksinβ)^2]
k^2+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=3[k^2+1-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]
8k(cosαcosβ+sinαsinβ)=2k^2+2
4k(cosαcosβ+sinαsinβ)=k^2+1
(1).ab=cosαcosβ+sinαsinβ=(k^2+1)/4k(k>0)
(2).ab=(k^2+1)/4k=(k/4)+(1/4k)>=2根号下(k/4*1/4k)=1/2
所以ab>=1/2,且当k/4=1/4k时,可以取"="
即k=1(k>0)时,ab取最小值1/2
ab=1/2=|a|*|b|*cosa=1*1*cosa
cosa=1/2
所以a=60度.
ab的最小值是1/2,此时a与b所成的角的大小是60度