作业帮已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1的实数,求证|a|+|b|+|c|≥3根号3（b^2·c^2+c^2·a^2+a^2·b^2)求证|a|+|b|+|c|≥3√3（b^2×c^2+c^2×a^2+a^2×b^2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 04:40:41
已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1的实数,求证|a|+|b|+|c|≥3根号3（b^2·c^2+c^2·a^2+a^2·b^2)求证|a|+|b|+|c|≥3√3（b^2×c^2+c^2×a^2+a^2×b^2)
已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1的实数,求证|a|+|b|+|c|≥3根号3（b^2·c^2+c^2·a^2+a^2·b^2)
求证|a|+|b|+|c|≥3√3（b^2×c^2+c^2×a^2+a^2×b^2)
已知a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1的实数,求证|a|+|b|+|c|≥3根号3（b^2·c^2+c^2·a^2+a^2·b^2)求证|a|+|b|+|c|≥3√3（b^2×c^2+c^2×a^2+a^2×b^2)
偶的解法漫长复杂,肯定不是标准答案,lz慎入
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题目的样子比较恶心,先改一下,令x=3*a^2,y=3*b^2,z=3*c^2,则题目变成x+y+z=3,x、y、z>=0.求证√x+√y+√z>=xy+yz+zx
不妨设x>=y>=z.设f(x,y,z)=√x+√y+√z-(xy+yz+zx)
下面证明两件事情：(1)f(x,y,z)>=f(x+y/2,x+y/2,z) (2)f(x+y/2,x+y/2,z)>=0
(1)即证明√x+√y+√z-(xy+z(y+x))>=2√((x+y)/2)+√z-((x+y)^2/4+z(y+x))
这等价于(x-y)^2/4>=√(2(x+y))-(√x+√y)=(2(x+y)-(√x+√y)^2)/(√(2(x+y))+(√x+√y))=(√x-√y)^2/(√(2(x+y))+(√x+√y))
两边约去(√x-√y)^2,只要证(√x+√y)^2/4>=1/(√(2(x+y))+(√x+√y))
这就显然成立了,因为由x+y>=3-z>=2知道,左边>=1/2,右边=(x+y)^2/4+z(y+x),把x+y=3-z代入,只要证√(6-2z)+√z>=3(3+2z-z^2)/4.
也就是(z-1)^2/4>=1-(√(6-2z)+√z)/3=(1-√z)/3+(2-√(6-2z))/3=(1-z)/3*(1/(1+√z)-2/(2+√(6-2z)))=(1-z)/3*(2+√(6-2z)-2-2√z)/[(1+√z)(2+√(6-2z))]=2(1-z)^2/[(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)]
两边约去(1-z)^2,只要证(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)>=8
而lz很容易证明√(6-2z)+2√z>=√6
于是(1+√z)(2+√(6-2z))>=2+√6
这样(1+√z)(2+√(6-2z))(√(6-2z)+2√z)>=(2+√6)√6>8.得证!
至此,(1) (2)都得到证明,于是命题得证
以上的变换比较恶心,但是核心思想是利用√a-√b=(a-b)/(√a+√b)等价变换,汗.对不住lz了