作业帮∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx求大大的答案,∫是从-π/2到π/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:29:08
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∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx求大大的答案,∫是从-π/2到π/2
∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx求大大的答案,
∫是从-π/2到π/2
∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx求大大的答案,∫是从-π/2到π/2
∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx=∫(-π/2,π/2)xdx/(1+sin2x)+∫(-π/2,π/2)cosxdx/(1+sin2x)
=0+2∫(0,π/2)cosxdx/(1+sin2x)
=2∫(0,π/2)d(sinx)/(1+sin2x)
=2[arctan(sinx)]│(0,π/2)
=2(π/4-0)
=π/2.
解析：这种问题看起来很复杂,不知道如何下手,其实很简单,首先观察到它的积分区域对称.
相信我说到这,你应该知道怎么办了吧.
对,其实这个被积函数是奇函数,按照积分的性质,“偶倍奇零”,所以该题积分结果为π/2.
以后遇到这种非常复杂的函数积分,首先就要考虑它的奇偶性.
你懂了么?
谁谁说
原式=∫(-π/2,π/2)xdx/(1+sin²x)+∫(-π/2,π/2)cosxdx/(1+sin²x)
=0+2∫(0,π/2)cosxdx/(1+sin²x) (∵第一个积分被积函数是奇函数，第二个积分被积函数是偶函数，且积分区间是对称的。∴第一个积分等于0，第二个积分等于它的半积分区间积分的2倍)
...
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原式=∫(-π/2,π/2)xdx/(1+sin²x)+∫(-π/2,π/2)cosxdx/(1+sin²x)
=0+2∫(0,π/2)cosxdx/(1+sin²x) (∵第一个积分被积函数是奇函数，第二个积分被积函数是偶函数，且积分区间是对称的。∴第一个积分等于0，第二个积分等于它的半积分区间积分的2倍)
=2∫(0,π/2)d(sinx)/(1+sin²x)
=2[arctan(sinx)]│(0,π/2)
=2(π/4-0)
=π/2。
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