作业帮已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线X+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=根号5,且AB的中点的坐标为(m,1/2),求此椭圆的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:33:25
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线X+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=根号5,且AB的中点的坐标为(m,1/2),求此椭圆的方程.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线X+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=根号5,且AB的中点的坐标为(m,1/2),求此椭圆的方程.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线X+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=根号5,且AB的中点的坐标为(m,1/2),求此椭圆的方程.
设A点坐标为（X1 Y1),B点坐标为（X2 Y2),则AB的中点的坐标为(X1/2+X2/2 Y1/2+Y2/2),又因为其中点坐标为(m,1/2),因此：
Y1/2+Y2/2＝1/2,又因A、B两点位于直线X+2y-2=0上,
所以Y1=2-X1/2,Y2＝2-X2/2,
所以4-（X1+X2)=2
所以X1+X2=2
将方程式X+2y-2=0代入x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)中得到：
x^2/a^2+4+X^2-4X/b^2=1 通分后得
4b^2x^2+4a^2+a^2x^2-4a^2x-4a^2b^2=0
(4b^2+a^2)x^2-4a^2x-(4a^2b^2-4a^2)=0
因为A、B两点为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线X+2y-2=0交点,所以X1,X2为方程(4b^2+a^2)x^2-4a^2x-(4a^2b^2-4a^2)=0的两实根
故X1+X2＝4a^2/4b^2+a^2 X1X2=4a^2b^2-4a^2/4b^2+a^2
又因|AB|=根号5,故(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2=5
所以4(X1^2+X2^2-2X1X2)+X1^2+X2^2-2X1X2=20
X1^2+X2^2-2X1X2=4
X1^2+X2^+2X1X2-2X1X2-2X1X2=4
(X1+X2)^2-4X1X2=4
因为X1+X2＝2＝4a/4b^2+a^2 得出a^2=4b^2
(X1+X2)^2-4X1X2=4,X1+X2＝2
得出X1X2＝0
X1X2=4a^2b^2-4a^2/4b^2+a^2＝0
b^2=1,因为b大于0,所以b=1
又因a^2=4b^2,
所以a^2＝4,因为a大于0
所以a=2
因此椭圆的方程为：
x^2/4+y^2=1