作业帮已知函数f(x)=/x-1/+/2x-1/+/3x-1/+.+/100x-1/,则当x=___时f(x)取得最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:40:47
已知函数f(x)=/x-1/+/2x-1/+/3x-1/+.+/100x-1/,则当x=___时f(x)取得最小值.
已知函数f(x)=/x-1/+/2x-1/+/3x-1/+.+/100x-1/,则当x=___时f(x)取得最小值.
已知函数f(x)=/x-1/+/2x-1/+/3x-1/+.+/100x-1/,则当x=___时f(x)取得最小值.
f(x)=/x-1/+/2x-1/+/3x-1/+.+/100x-1/
=|x-1|+2|x-1/2|+3|x-1/3|+.+100|x-1/100|
=|x-1|+|x-1/2|+|x-1/2|+|x-1/3|+|x-1/3|+|x-1/3|+.+|x-1/100|
共有(1+100)*100/2=5050项
又|x-a|+|x-b|>=|a-b|
(注：|x-a|为x到a的距离...
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离,
当x在a,b之间时,|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离)
所以f(x)的5050项 前后对应每两项相加,使用公式|x-a|+|x-b|>=|a-b|
f(x)>=(1-1/100)+(1/2-1/100)+.+.当x在每一对a,b之间时,等号成立
由于70*(1+70)/2=2485
71*(71+1)/2=2556
所以f(x)最中间的两项(第2525,2526项)是|x-1/71|
所以f(x)>=(1-1/100)+(1/2-1/100)+.+(1/71-1/71)
当x=1/71时等号成立
则当x=1/71时f(x)取得最小值
显然可以看出函数是连续的,在x>1时,函数是增函数,在x<1/100时,显然是减函数
而在某个区间1/k<=x<1/(k-1)时,函数可能增,也可能减,但是显然对于较小的k,函数增,对于较大的k,函数减,其中只有某个1/k,其两边的区间一个区间里面增,一个区间里面减,那么函数在这个点取道最小值,计算之即可,也就是找1+2+...大概达到1+2+...+100的一半
设当x=1/m...
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显然可以看出函数是连续的,在x>1时,函数是增函数,在x<1/100时,显然是减函数
而在某个区间1/k<=x<1/(k-1)时,函数可能增,也可能减,但是显然对于较小的k,函数增,对于较大的k,函数减,其中只有某个1/k,其两边的区间一个区间里面增,一个区间里面减,那么函数在这个点取道最小值,计算之即可,也就是找1+2+...大概达到1+2+...+100的一半
设当x=1/m时最小，代入得
|1-1/m|+|1-2/m|+……+|1-m/m|+……|1-100/m| 打开得
m-(1+2+……+m)/m-(100-m)+(100+m)(100-m)/2m=…… 后面自己算
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首先，这只是一道填空题，肯定没有以上几位所说的方法那样复杂！一定有简便算法！
将原式变化为f(x)=/1-x/+/1-2x/+/1-3x/+...+/1-100x/，这个变化很重要！
然后，在x轴上画出图形模型来，用图形知识观察出结果过来！
f(x)的图形意思是：（|a-nx|为a到nx的距离），即a到所有nx的距离总和最短！
在图形上，只用考虑两端点即可，也就是说...
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首先，这只是一道填空题，肯定没有以上几位所说的方法那样复杂！一定有简便算法！
将原式变化为f(x)=/1-x/+/1-2x/+/1-3x/+...+/1-100x/，这个变化很重要！
然后，在x轴上画出图形模型来，用图形知识观察出结果过来！
f(x)的图形意思是：（|a-nx|为a到nx的距离），即a到所有nx的距离总和最短！
在图形上，只用考虑两端点即可，也就是说，只用考虑（x,0）和(100x,0)点，就可以了，
上题就可以简化为：求x 使得f(x)=/1-x/+/1-100x/最小！
最后，在实数范围内讨论x的取值范围，将绝对值符号展开，可以知道
当
x=1/100的时候取得最小值；
推而广之，f(x)=∑(1-nx),n=1,2,3,...，当且仅当x=1/n时，取得最小值
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