作业帮已知函数f(x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系并证明你的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:05:16
已知函数f(x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系并证明你的结论
已知函数f(x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系
并证明你的结论
已知函数f(x)=log2(x+2),a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系并证明你的结论
a,b,c成等比数列,则 b²=ac,
f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2[(a+2)(c+2)]
2f(b)=2log2(b+2)=log2(b+2)²
因为 (a+2)(c+2)=ac+2(a+c)+4=b²+2(a+c)+4>b²+4√(ac)+4=b²+4b+4=(b+2)²
即 (a+2)(c+2)>(b+2)²
所以 f(a)+f(c)>2f(b)
由已知 b^2=ac ，
所以 f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2[(a+2)(c+2)]=log2(ac+2a+2c+4)，
2f(b)=2log2(b+2)=log2[(b+2)^2]=log2(b^2+4b+4) ，
因为 a、b、c 为两两不等的正数，所以 由均值不等式得 b^2=ac<(a+c)^2/4 ，
即 b<(a+...
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由已知 b^2=ac ，
所以 f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2[(a+2)(c+2)]=log2(ac+2a+2c+4)，
2f(b)=2log2(b+2)=log2[(b+2)^2]=log2(b^2+4b+4) ，
因为 a、b、c 为两两不等的正数，所以 由均值不等式得 b^2=ac<(a+c)^2/4 ，
即 b<(a+c)/2 ，
因此 b^2+4b+4=ac+4b+4
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