二次函数f(x)满足:f(0)=2,f(x)=f(-2-x),它的导函数图像与直线y=2x平行(1)求f(x)的解析式(2)若函数g(x)=xf(x)-x的图像与直线y=m有三个公共点,求m的取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 01:02:17
二次函数f(x)满足:f(0)=2,f(x)=f(-2-x),它的导函数图像与直线y=2x平行(1)求f(x)的解析式(2)若函数g(x)=xf(x)-x的图像与直线y=m有三个公共点,求m的取值范围.

二次函数f(x)满足:f(0)=2,f(x)=f(-2-x),它的导函数图像与直线y=2x平行(1)求f(x)的解析式(2)若函数g(x)=xf(x)-x的图像与直线y=m有三个公共点,求m的取值范围.
二次函数f(x)满足:f(0)=2,f(x)=f(-2-x),它的导函数图像与直线y=2x平行
(1)求f(x)的解析式(2)若函数g(x)=xf(x)-x的图像与直线y=m有三个公共点,求m的取值范围.

二次函数f(x)满足:f(0)=2,f(x)=f(-2-x),它的导函数图像与直线y=2x平行(1)求f(x)的解析式(2)若函数g(x)=xf(x)-x的图像与直线y=m有三个公共点,求m的取值范围.
(1)设f(x)=ax²+bx+c ∵f(0)=2 ∴c=2 ∵f(x)=f(-2-x) ∴f(x-1)=f(﹣x-1) ∴f(x)的对称轴为x=﹣1 又 ∵f′(x)=2ax+b 与y=2x平行 ∴2a=2 a=1 ∵对称轴x=﹣1 ∴b=2
∴f(x)=x²+2x+2
(2)∵g(x)与y=m有三个公共点 ∴xf(x)-x=m有三个解 ∴x³+2x²+x-m=0有三个解
∵设t(x)=x³+2x²+x-m ∴t′(x)=3x²+4x+1 ∴t(x)在(﹣∞,﹣1)(﹣1/3,﹣∞)上增,在(﹣1,﹣1/3)上减 ∴t(﹣1)>0,t(﹣1/3)<0
∴解得﹣4/27<m<0