斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 22:39:12
斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程

斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程
斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大
求l方程

斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程
因为斜率为1,设直线方程为：y=x+b
直线与椭圆x^2+2*y^2=4相交,
将直线方程带入椭圆方程得：x^2+2*（x+b）^2=4
则：3*x^2+4bx+2b^2-4=0
由于方程的两个根为直线交与椭圆两点的横坐标,
三角形ABO的面积为：
S =|b|*|x1-x2|/2
=|b|*{1/3*根号[16b^2-4*3*（2b^2-4）]}/2
=|b|*根号（48-8b^2）/6=| b|*根号（6-b^2）*根号（2）/3
求S对b的导数为0的b的值：
令：dS/db= 0
即：±[根号（6-b^2）+b*1/2*（-2b）/根号（6-b^2）]*根号（2）/3=0
则：±[根号（6-b^2）-b^2/根号（6-b^2）]*根号（2）/3=0
（6-b^2）-b^2=0
b^2=3
b=±根号（3）
1）当b=根号（3）时,S对b的二阶导数为：
d（dS/db）/db=d{ [根号（6-b^2）-b^2/根号（6-b^2）]*根号（2）/3}/db
={1/2*（-2b）/根号（6-b^2）-2b/根号（6-b^2）-b^2*（-1/2）*（-2b）/[根号（6-b^2）^3}*根号（2）/3
={-b/根号（6-b^2）-2b/根号（6-b^2）-b^3/[根号（6-b^2）]^3}*根号（2）/3
=[-3b*（6-b^2）-b^3] /[根号（6-b^2）]^3*根号（2）/3
=-4*根号（2）/3

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