在三角形ABC中,AD是BC边上的高,EF是中位线,AD与EF相交于点O,若将三角形AEO与三角形AFO分别绕E,F两点旋转18度,可与梯形EBCF构成矩形PBCQ,我们把这样形成的矩形称为三角形ABC的一个等积矩形.(1)若三

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 15:12:40

在三角形ABC中,AD是BC边上的高,EF是中位线,AD与EF相交于点O,若将三角形AEO与三角形AFO分别绕E,F两点旋转18度,可与梯形EBCF构成矩形PBCQ,我们把这样形成的矩形称为三角形ABC的一个等积矩形.(1)若三
在三角形ABC中,AD是BC边上的高,EF是中位线,AD与EF相交于点O,若将三角形AEO与三角形AFO分别绕E,F两点旋转18
度,可与梯形EBCF构成矩形PBCQ,我们把这样形成的矩形称为三角形ABC的一个等积矩形.
(1)若三角形ABC的边BC=5,高AD=6,则等积矩形PBCQ的长为——,宽为—— （2）在图2中,角C=90度,BC=2,AC=4,试求三角形ABC的所有等积矩形的长和宽.
图3中矩形的长为3,宽为2,能形称这样的等积矩形的三角形有多少个?试探究其中周长最小的三角形的三边长.

在三角形ABC中,AD是BC边上的高,EF是中位线,AD与EF相交于点O,若将三角形AEO与三角形AFO分别绕E,F两点旋转18度,可与梯形EBCF构成矩形PBCQ,我们把这样形成的矩形称为三角形ABC的一个等积矩形.(1)若三
（1）BC为矩形PBCQ的长,为5.
因为矩形面积和三角形ABC面积相等,而矩形面积为长×宽,三角形面积为底×高/2
所以矩形宽为三角形高的一半,为3
（2）RT△ABC中,BC=2,AC=4,所以AB=2√5
情况有三种：
①矩形以AC为一边,此时△ABC中AC边上的高为BC.
所以矩形一边等于AC,为4,另一边为BC/2,也为1
②矩形以BC为一边,此时△ABC中BC边上高为AC
所以矩形一边等于BC,为2,另一边为AC/2,也为2
③矩形以AB为一边,此时△ABC中AB边上的高为：AC×BC/AB=4√5/5
所以矩形一边等于AB,为2√5,另一边为高的一半,为2√5/5
（3）三角形只要以矩形一边为底,高为矩形另一边的2倍,且两边都与矩形中作为三角形底边的对边有交点即可.
因为矩形有四条边,所以三角形可以分为四类.但每类三角形都有无数个
以三角形底边为矩形AD边为例：作直线MN平行BC,使MN与AD分别在BC两侧.BC到MN距离等于BC、AD距离2.从B、C作MN垂线,分别交MN于P、Q两点
此时只要把三角形另一顶点E作在PQ之间（可以与P、Q 重合）,所得△ADE都符合题目要求.因此有无数个.
①所得以AD或BC为底的三角形为同一类型（仍以AD为底为例,以便用上面所述点M、N、P、Q、E）
由于AD长度不变,要使△ADE周长最小,只要使AE+DE长度和最小即可
作A关于MN的对称点A′,连接A′D,与MN交点即为所求点E
此时AE+DE=A′E+DE=A′D
A到MN距离为2AB=4,所以AA′=8
RT△AA′D中,AD=3,AA′=8.所以A′D=√73.△ADE周长为√73+3
②所得以AB或CD为底的三角形为同一类型（以AB为底为例）
作FG∥CD且与AB分别在CD两侧,到CD距离也为3
作A关于FG的对称点A′,连接A′B,与FG交点即为所求点E
此时AE+BE=A′E+BE=A′B
A到FG距离为2AD=6,所以AA′=12
RT△AA′B中,AB=2,AA′=12.所以A′B=2√37
△ABE周长为2√37+2.
因为2√37+2＞√73+3,所以第①类三角形中△ADE周长最小,三边分别为√73/2、√73/2和3