求ln（1+x^2）的n阶导数,怎么用泰勒公式做呢?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 03:52:20

求ln（1+x^2）的n阶导数,怎么用泰勒公式做呢?
求ln（1+x^2）的n阶导数,怎么用泰勒公式做呢?

求ln（1+x^2）的n阶导数,怎么用泰勒公式做呢?
先利用函数ln(1+x)的幂级数展开式
ln(1+x)=∑(-1)^n x^(n+1)/(n+1),n=0到∞求和
于是y=ln(1+x²)=∑(-1)^n x^(2n+2)/(n+1)
依次求导可得
y'=∑(-1)^n [(2n+2)/(n+1)]x^(2n+1)
y''=∑(-1)^n [(2n+2)(2n+1)/(n+1)]x^(2n)
.
y的k阶导数=∑(-1)^n {[(2n+2)(2n+1)...(2n-k+3)]/(n+1)} x^(2n-k+2)

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