问一道立体几何题已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 18:34:46
问一道立体几何题已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
问一道立体几何题
已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
问一道立体几何题已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于多少?
作DE⊥BC于E
∵α⊥β,β∩β=l,AC⊥l
∴AC⊥β
∴面ABC⊥β
∴(AC⊥BC,)AC⊥DE
又DE⊥BC
∴DE⊥面ABC
∴DE就是D到面ABC的距离
∵AC=1,AB=2
∴BC=√3
又BD=1
∴CD=√2
∵Rt△CDE∽Rt△CBD
∴DE/BD=CD/CB
DE=√2÷√3=√6/3
即D到平面ABC的距离为√6/3
解析:直二面角的话,其实BD是垂直于α平面的(如果你不相信,可以过B点作平面α的垂线,垂足为另一点H,然后连接DH,根据三垂线定理,直线l必然垂直于HD,从而角BDH就是二面角,为90度,但是三角形BDH里角BHD也是直角,矛盾了,所以H点必然和D点重合)。
同理也有AC垂直于平面β。这样的话,根据勾股定理,
BC = sqrt(AB^2 - AC^2) = sqrt(3);
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解析:直二面角的话,其实BD是垂直于α平面的(如果你不相信,可以过B点作平面α的垂线,垂足为另一点H,然后连接DH,根据三垂线定理,直线l必然垂直于HD,从而角BDH就是二面角,为90度,但是三角形BDH里角BHD也是直角,矛盾了,所以H点必然和D点重合)。
同理也有AC垂直于平面β。这样的话,根据勾股定理,
BC = sqrt(AB^2 - AC^2) = sqrt(3);
AD = sqrt(AB^2 - BD^2) = sqrt(3),
三角形ABC的面积为S1 = sqrt(3)/2,三角形ACD的面积为S2 = sqrt(2)/2,根据等体积的原理,设D到平面ABC的距离为h,那么有:
h*S1 = S2*BD
于是h = S2/S1 = sqrt(6)/3.
答案:距离为sqrt(6)/3
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