作业帮几何题,证两圆相切.SANGAKU问题之一.M、D、I是圆心,用定义证相切时,求出DI的表示式是一个非常繁琐的式子,求化简.或者有其他好方法也行.射影几何考虑过了,不要用.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/17 06:04:22
几何题,证两圆相切.SANGAKU问题之一.M、D、I是圆心,用定义证相切时,求出DI的表示式是一个非常繁琐的式子,求化简.或者有其他好方法也行.射影几何考虑过了,不要用.
几何题,证两圆相切.SANGAKU问题之一.
M、D、I是圆心,用定义证相切时,求出DI的表示式是一个非常繁琐的式子,求化简.或者有其他好方法也行.射影几何考虑过了,不要用.
几何题,证两圆相切.SANGAKU问题之一.M、D、I是圆心,用定义证相切时,求出DI的表示式是一个非常繁琐的式子,求化简.或者有其他好方法也行.射影几何考虑过了,不要用.
⊙D是△ABC的九点圆,所以这就是Feuerbach定理的特例:
三角形的九点圆与三角形的内切圆和各旁切圆都相切.
在《近代欧式几何学》中有一节讲这个定理的几种证明.
因为是一般情况,证明都比较繁琐.
对于本题的这种特殊情况,计算可以简化不少.
设△ABC外接圆半径为R,内切圆半径为r.
不难得到GC = IG = r,故IC² = IG²+GC² = 2r².
由Euler定理有IM² = R(R-2r).
D是CM中点,在△CIM中由中线长公式得:
4ID² = 2IC²+2IM²-CM² = 4r²+2(R²-2Rr)-R² = R²-4Rr+4r² = (R-2r)².
于是ID = R/2-r,又⊙D的半径为R/2,⊙I的半径为r,故二者相切.