证明不等式(2/3)^n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:43:15

证明不等式(2/3)^n
证明不等式(2/3)^n

证明不等式(2/3)^n
(2/3)^n

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把n=1，2，3，4，5代入，都成立
若n=k是成立，k>=5
即(2/3)^k<4/k(k+1)
则n=k+1时
(2/3)^(k+1)=(2/3)*(2/3)^k<(2/3)*4/k(k+1)
(2/3)*4/k(k+1)-4/(k+1)(k+2)
=[8(k+2)-12k]/3k(k+1)(k+2)
=(-4k+16)/3k(k+1)(k+2)
因为k>=5,所以分子小于0，分母大于0
所以(2/3)*4/k(k+1)<4/(k+1)(k+2)
即(2/3)^(k+1)<4/(k+1)(k+2)
所以n=k+1也成立
综上
(2/3)^n<4/n(n+1)对任何自然数n成立

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