关于图论中完全匹配的一道题目一道图论题目：设R是A到B的一个关系且|A|=|B|=n,证明：如果在A,B和R相对应的网络中,每一个节点的度数至少是n/2,那么对于A,B和R,存在一个完全匹配.提示是利用哈

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 18:43:29
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关于图论中完全匹配的一道题目
一道图论题目：设R是A到B的一个关系且|A|=|B|=n,证明：如果在A,B和R相对应的网络中,每一个节点的度数至少是n/2,那么对于A,B和R,存在一个完全匹配.提示是利用哈密尔顿回路回路存在性的一个定理：如果n个顶点的连通图每个顶点的度数至少为n/2,那么该图必定存在一条哈密尔顿回路.

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我将所述之图理解为一个二部图,记为G,部集为A和B,关系R则是边集.由于图中存在一条Hamilton回路,记此回路为H,则H为G的生成子图.在H中,因点集A中的点之间没有边相连,且每个点的度数为2 (对于B也一样),故H是一个2正则的二部图.由于“任意 r 正则二部图(r≥1)均有一个完美匹配.”故H含有一个完美匹配,因H是G的生成子图,当然H的完美匹配亦是G的完美匹配,从而完成证明.
注：定理“任意 r 正则二部图(r≥1)均有一个完美匹配.”之证明详见Gary Chartrand等著的《图论导引》第八章“匹配与分解”.
生成子图的定义是：如果图G的一个子图与G有相同的顶点集,那么该子图是图G的一个生成子图.

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