作业帮已知扇形的圆心角和半径,求内接矩形的最大面积分两种情况,一是矩形一条边落在半径上,另一种是矩形中有两点在圆弧上（最好有图）急!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:23:02
已知扇形的圆心角和半径,求内接矩形的最大面积分两种情况,一是矩形一条边落在半径上,另一种是矩形中有两点在圆弧上（最好有图）急!
已知扇形的圆心角和半径,求内接矩形的最大面积
分两种情况,一是矩形一条边落在半径上,另一种是矩形中有两点在圆弧上（最好有图）急!
已知扇形的圆心角和半径,求内接矩形的最大面积分两种情况,一是矩形一条边落在半径上,另一种是矩形中有两点在圆弧上（最好有图）急!
设：扇形的圆心角为θ；半径为r；
1）一是矩形一条边落在半径上（当0＜θ≤90°时）
连接OA,设：∠AOB=α,AB=x,BD=y；如图一所示,建立方程：
x = r sinα ①
OD + y= r cosα ②
OD = x cotθ ③
③代入②：y= r cosα- x cotθ ④
①代入④：y= r cosα- r sinαcotθ ⑤
矩形面积S = x * y =r sinα（r cosα- r sinαcotθ）
= r^2（sinαcosα- sin^2 αcotθ）
= r^2 /2〔sin2α-（1-cos2α）cotθ〕
sin2αsinθ+cos2αcosθ
= r^2 /2(---------------------- - cotθ)
sinθ
cos(2α-θ)
= r^2 /2〔--------------- - cotθ〕
sinθ
当2α=θ时,矩形面积最大
1 - cosθ
Smax= r^2 /2 -----------------------
sinθ
Smax= r^2 /2 tanθ/2
2）另一种是矩形中有两点在圆弧上（θ≠0°和180°）
∵扇形是轴对称图形
∴内接的矩形也一定与扇形同轴对称,如图二所示：
连接OA,设：∠AOD=α,AB=x,ED=y；建立方程：
x/2 = r sinα ①
OD + y= r cosα ②
OD = x/2 cotθ/2 ③
同1）的解法,得：
cos(2α-θ/2)
矩形面积S = r^2〔--------------- - cotθ/2〕
sinθ/2
当α=θ/4时,矩形面积最大
Smax= r^2 tanθ/4