作业帮已知a、b为正数,a+b=2 ,求W=√(a^2+4)+√(b^2+1)最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:04:45
已知a、b为正数,a+b=2 ,求W=√(a^2+4)+√(b^2+1)最小值
已知a、b为正数,a+b=2 ,求W=√(a^2+4)+√(b^2+1)最小值
已知a、b为正数,a+b=2 ,求W=√(a^2+4)+√(b^2+1)最小值
设:A=(0,2) ,B=(2,1),B'=(2,-1) ; x轴上动点：p=(a,0) 则：
|pA|=√(a^2+4)
|pB|=√[(2-a)^2+1]=√(b^2+1) = |pB'|
|AB'|=√（4+9）=√13
从而：|pA|+|pB|=|pA|+|pB'| ≥|AB'| 【三角不等式：三角形两边和大于第三边,即：】
√(a^2+4)+√(b^2+1) ≥ √13
【参考“将军饮马问题”】
y
|
* A(0,2)
|\
| \
| \
| \ * B (2,1)
| \ | 易求：p'=(4/3,0)
| \p' |
---|-*----*--|----------->x
| p \ |
\ |
\* B'(2,-1)
补充一点,楼上的处理方法很简洁,比这个几何方法应用广泛,也得掌握.只是直接应用三角不等式,在求解“取到”的最小值的场合,其是否合适值得商榷.
【由均值不等式知，x²+y²≥2xy.===>2(x²+y²)≥x²+2xy+y²=(x+y)².即2(x²+y²)≥(x+y)².两边开平方，√[2(x²+y²)]≥|x+y|≥x+y.∴√[2(x²+y²)]≥x+y,等号仅当x=y≥0时取得。∴√(x&s...
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【由均值不等式知，x²+y²≥2xy.===>2(x²+y²)≥x²+2xy+y²=(x+y)².即2(x²+y²)≥(x+y)².两边开平方，√[2(x²+y²)]≥|x+y|≥x+y.∴√[2(x²+y²)]≥x+y,等号仅当x=y≥0时取得。∴√(x²+y²)≥(√2/2)(x+y)】由a,b＞0可知，√(a²+4)≥(√2/2)(a+2),且√(b²+1)≥(√2/2)(b+1).两式相加得：W=√(a²+4)+√(b²+1)≥(√2/2)(a+2+b+1)=(5√2)/2.∴Wmin=(5√2)/2.
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