作业帮已知f(x)=[(a2+1)/2]ln(1+x2)+ax (1)a=2时,求f(x)的极值 （2）当a＜0时讨论f（x）的单调性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 15:15:43
![已知f(x)=[(a2+1)/2]ln(1+x2)+ax (1)a=2时,求f(x)的极值 （2）当a＜0时讨论f（x）的单调性](/uploads/image/z/15235757-53-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%3D%5B%28a2%2B1%29%2F2%5Dln%281%2Bx2%29%2Bax+%281%29a%3D2%E6%97%B6%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC+%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93a%EF%BC%9C0%E6%97%B6%E8%AE%A8%E8%AE%BAf%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7)
已知f(x)=[(a2+1)/2]ln(1+x2)+ax (1)a=2时,求f(x)的极值 （2）当a＜0时讨论f（x）的单调性
已知f(x)=[(a2+1)/2]ln(1+x2)+ax (1)a=2时,求f(x)的极值 （2）当a＜0时讨论f（x）的单调性
已知f(x)=[(a2+1)/2]ln(1+x2)+ax (1)a=2时,求f(x)的极值 （2）当a＜0时讨论f（x）的单调性
已知f（x）=(
a2+1
2
)ln(1+x2)+ax．
（1）a=2时,求f（x）的极值；
（2）当a＜0时,讨论f（x）的单调性；
（3）证明：（1+
1
24
）（1+
1
34
）…(1+
1
n4
)＜e（n∈N*,n≥2,
其中无理数e=2.71828L）考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时,利用导数
先求出函数的单调性,然后判断函数的极值．（2）当a＜0时,通过导数判断函数的单调性．（3）利用（2）的结论,通过构造函数,利用方缩法去证明不等
式．f′(x)＝
(a2+1)x
1+x2
+a＝
ax2+(a2+1)x+a
1+x2
＝
(ax+1)(x+a)
1+x2
,
（1）当a=2时,f′(x)＝
(2x+1)(x+2)
1+x2
．由f'（x）＞0,解得x＞−
1
2
或x＜−2,此时函数递增．
由f'（x）＜0,解得−2＜x＜−
1
2
,此时函数递减．所以当x=-2时,函数取得极大值f(−2)＝
5
2
ln5−4,
当x=−
1
2
时,函数取得极小值f(−
1
2
)＝
5
2
ln5−1．
（2）当-1＜a＜0时,由f'（x）＞0,解得−a＜x＜−
1
a
,此时函数递增．由f'（x）＜0,解得x＞−
1
a
或x＜-a,此时函数递减．
当a=-1时,f'（x）≤0恒成立,此时函数在R上单调递减．
当a＜-1时,由f'（x）＞0,解得−
1
a
＜x＜−a,此时函数递增．由f'（x）＜0,解得x＜−
1
a
或x＞-a,此时函数递减．
综上：当a=-1时,函数的单调递减区间为R．
当-1＜a＜0时,增区间为(−a,−
1
a
),单调减区间为（-∞,-a）和(−
1
a
,+∞)．
当a＜-1时,增区间为(−
1
a
,−a),单调减区间为（-a,+∞）和(−∞,−
1
a
)．
（3）由（2）知当a=-1时,函数f（x）在R上单调递减．当x＞0时,f（x）＜f（0）,所以ln（1+x2）-x＜0,即ln（1+x2）＜x．
所以ln（1+
1
24
）（1+
1
34
）…(1+
1
n4
)=ln（1+
1
24
）+ln（1+
1
34
）+…+ln(1+
1
n4
)＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n−1)
＝1−
1
2
+
1
2
−
1
3
+…+
1
n
−
1
n+1
＝1−
1
n
＜1,
所以（1+
1
24
）（1+
1
34
）…(1+
1
n4
)＜e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题,以及利用函数的单调性证明不等式,在证明不等式的过程中使用了方缩放证明不等式,综合性较强,难度较大