作业帮证明:7777^2222+8888^3333能被37整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:17:47
证明:7777^2222+8888^3333能被37整除
证明:7777^2222+8888^3333能被37整除
证明:7777^2222+8888^3333能被37整除
原题应为7777^3333+8888^2222
因为7777除以37的余数为7
8888除以37的余数为8,所以
7777^3333+8888^2222除以37的余数就等于
7^3333+8^2222除以37的余数
因为7^3333=343^1111
8^2222=64^1111
而343^1111=(37*11-64)^1111
由二项式定理可知(37*11-64)^1111+64^1111能被37整除
方法2：
另外,也可以由公式a^1111+b^1111=(a+b)(a^1110-a^1109*b+...+b^1110)可知343^1111+64^1111能被(343+64)整除,即能被407整除,又407=37*11,所以343^1111+64^1111能被37整除
方法3
因为343≡-64 (mod 37)
所以343^1111≡(-64)^1111(mod 37)
所以343^1111+64^1111≡(-64)^1111+64^111(mod37)
即343^1111+64^1111≡0(mod37)
即343^1111+64^1111能被37整除
37｜111
7777 Ξ 7770＋7 Ξ 7（mod111）
8888 Ξ 8880＋8 Ξ 8（mod111）
7777^2222+8888^3333
Ξ7^2222+8^3333（mod111）
7777^2222+8888^3333
Ξ7^2222+8^3333（mod37）
由费马小定理
p是质数
...
全部展开
37｜111
7777 Ξ 7770＋7 Ξ 7（mod111）
8888 Ξ 8880＋8 Ξ 8（mod111）
7777^2222+8888^3333
Ξ7^2222+8^3333（mod111）
7777^2222+8888^3333
Ξ7^2222+8^3333（mod37）
由费马小定理
p是质数
(a，p)=1
a^(p-1)Ξ1(modp)
7^36Ξ1(mod37)
8^36Ξ1(mod37)
7^2222+8^3333Ξ7^26+8^21（mod37）
7^2Ξ12(mod37)
7^4Ξ144Ξ-4(mod37)
7^12Ξ-64Ξ10(mod37)
7^24Ξ100Ξ-11(mod37)
7^26Ξ-11*12Ξ-11(mod37)
8^2Ξ-10（mod37）
8^4Ξ100Ξ-11(mod37)
8^8Ξ121Ξ10(mod37)
8^16Ξ100Ξ-11(mod37)
8^20Ξ121Ξ10(mod37)
8^21Ξ80Ξ6(mod37)
??
收起
求证N=8887的2222次方+7777的3333次方能被三十七整除
8888^2222+7777^3333（mod37）≡8^2222+7^3333≡64^1111+343^1111≡（-10）^1111+10^1111≡0（mod37）