作业帮谁能帮忙用数学归纳法证明：设n属于自然数,求证5^2n-24n-1能被576整除.（麻烦写下过程）只有2n是5的指数，其余都不是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 15:14:11
谁能帮忙用数学归纳法证明：设n属于自然数,求证5^2n-24n-1能被576整除.（麻烦写下过程）只有2n是5的指数，其余都不是
谁能帮忙用数学归纳法证明：设n属于自然数,求证5^2n-24n-1能被576整除.（麻烦写下过程）
只有2n是5的指数，其余都不是
谁能帮忙用数学归纳法证明：设n属于自然数,求证5^2n-24n-1能被576整除.（麻烦写下过程）只有2n是5的指数，其余都不是
解 ：n = 1时
5^2n-24n-1 = 125 - 24 - 1 = 100 不能整除 576
n = 2时
5^2n-24n-1 = 625 - 48 - 1 = 576 能整除 576
假设 当 n = k 时
5^2k-24k-1 整除 576
所以 当 n = k + 1时
5^2(k+1) - 24(k+1) - 1 = 5^2[5^2k - 24k - 1] + 5^2[24k + 1] - 24(k+1) - 1
= 5^2[5^2k - 24k - 1] + (5^2 - 1)24k + 5^2 - 24 - 1
= 5^2[5^2k - 24k - 1] + 576k
所以 5^2(k+1) - 24(k+1) - 1 也能整除 576
原题得证
同学，2n-24n-1是指数是吗？
令f(n)=5^2n-24n-1
当n=2时，注意最小是2，f(2)=576成立
假设n=k时成立，即f(k)=5^2k-24k-1=576m,m是正整数，则当n=k+1时
f(k+1)-f(k)
=5^(2k+2)-24(k+1)-1-[5^2k-24k-1]
=24*5^2k-24
=24(5^2k-1)
=24(576m-24k)
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令f(n)=5^2n-24n-1
当n=2时，注意最小是2，f(2)=576成立
假设n=k时成立，即f(k)=5^2k-24k-1=576m,m是正整数，则当n=k+1时
f(k+1)-f(k)
=5^(2k+2)-24(k+1)-1-[5^2k-24k-1]
=24*5^2k-24
=24(5^2k-1)
=24(576m-24k)
=24*576m-576k
因此f(k+1)-f(k)可以被576整除，因此f(k+1)可以被576整除，因此成立。
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证明：当n=1时，5^2-24-1=0，能被576整除,结论成立。
设当n=k时，成立，即5^2k-24k-1能被576整除。
当n=k+1时，
5^2n-24n-1=5^2(k+1)-24(k+1)-1=25*5^2k-24k-25=(24*5^2k-24)+(5^2k-24k-1)
=24(25^k-1)+(5^2k-24k-1)
=24*(25-1)[...
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证明：当n=1时，5^2-24-1=0，能被576整除,结论成立。
设当n=k时，成立，即5^2k-24k-1能被576整除。
当n=k+1时，
5^2n-24n-1=5^2(k+1)-24(k+1)-1=25*5^2k-24k-25=(24*5^2k-24)+(5^2k-24k-1)
=24(25^k-1)+(5^2k-24k-1)
=24*(25-1)[25^(k-1)+25^(k-2)+....+25+1]+(5^2k-24k-1)
=576[25^(k-1)+25^(k-2)+....+25+1]+(5^2k-24k-1)
显然是576的倍数。
命题得证。
收起
如果提写错了，那么应该这么解答