设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2.讨论f(x)的单调性.求F(X)在区间[-1,1]的最大值和最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 08:49:30

设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2.讨论f(x)的单调性.求F(X)在区间[-1,1]的最大值和最小值
设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2.讨论f(x)的单调性.求F(X)在区间[-1,1]的最大值和最小值

设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2.讨论f(x)的单调性.求F(X)在区间[-1,1]的最大值和最小值
首先求f(x)的导数：f（x）'=2/(2x+3) +2x ;
接着求零极点：f（x）'=0时,x=-1或x=-1/2;
接下来讨论单调性：x在[-1,-1/2)时,f（x）'< 0,即这时f（x）单调递减,
x在（-1/2,1]时,f（x）'>0,即这时f（x）单调递增,
x=-1/2时,f（x）'=0,这时f（x）取得极小值,也是最小值,即fmin=f（-1/2）=ln2 +1/4;
另外,两个端点值：f（-1）=1,f(1)=ln5 +1,由于f(1)>f（-1）,所以,在此区间,f（x）的最大值是f(1),即fmax=ln5+1.
综上所述：F(X)在区间[-1,1]的最大值为ln5+1,最小值为ln2 +1/4.
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定义域（-3/2，+∞）
f'(x)=2/(2x+3)+2x＞0
推出
(4x^2+6x+2)/(2x+3)＞0
推出
（2x+2)（2x+1)(2x+3)＞0
所以f（x）在给定的区间里（-1，-1/2）递减（-1/2，1）递增
所以f（x）max=f（1）=In5+1
f（x）min=f（-1/2）=In2+1/4

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