作业帮如何求出函数1/tanA+tanA-4-2A+3π=0的解的个数,其中A∈（π/2,π）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 01:26:58
如何求出函数1/tanA+tanA-4-2A+3π=0的解的个数,其中A∈（π/2,π）
如何求出函数1/tanA+tanA-4-2A+3π=0的解的个数,其中A∈（π/2,π）
如何求出函数1/tanA+tanA-4-2A+3π=0的解的个数,其中A∈（π/2,π）
原方程变形为：
1/tan(x)+tan(x)=4+2*x-3π,x∈(π/2,π),
在同一个坐标系中,分别做出函数y1=1/tan(x)+tan(x)和y2=4+2*x-3π在区间(π/2,π)上的图像,查看其交点个数.如图所示,在区间（π/2,π）内没有交点,即原方程在区间（π/2,π）上无解,解的个数为0.当然,如果把范围扩大一些,解的个数会增加.
在计算机上作图会很方便,maple中的作图命令如下：
plot([1/tan(x)+tan(x), 4+2*x-3*Pi], x = (1/2)*Pi .. Pi, y = -6 .. 2);
如果要完全通过人工判断,可以这样考虑,
对方程1/tan(x)+tan(x)=4+2*x-3π,x∈(π/2,π),
因为x∈(π/2,π),tan(x)<0,由均值不等式,|1/tan(x)+tan(x)|=|1/tan(x)|+|tan(x)|≥2*(|1/tan(x)|*|tan(x)|)=2,
所以1/tan(x)+tan(x)≤-2,等号当且仅当1/tan(x)=tan(x)即x=3π/4时成立.
（1）而当x>(3π-6)/2时,4+2*x-3π>-2≥1/tan(x)+tan(x),方程两边不可能相等；
（2）而当π/2<x≤(3π-6)/2时,tan(x)≤tan((3π-6)/2)≤tan(4π/3)=-√3,（不难判断,(3π-6)/2<4π/3）
1/tan(x)+tan(x)≤-1/√3-√3=-4/√3(≈-2.31)>-2.3,（1/z+z在z<1时是增函数）
4+2*x-3π>4+2*π/2-3π=4-2π(≈-2.28)>-2.3,
故方程两边也不可能相等.
从而原方程在指定的范围内无解.
顺便纠正一下,原方程在R上的解有无穷多个,不是二十个.除了少数几个另外情况（k=0、1时）,其它的区间(kπ/2, (k+1)π/2)内都有两个解.
R上20个解
A∈（π/2，π）时 无解