因式分解 复习到提公因式,呆...就这几个破公式害我想了一星期.a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2复杂的公式应当都是由最简单最一般的公式循序渐进演变而来,所以肯定有更一般的

因式分解 复习到提公因式,呆...就这几个破公式害我想了一星期.a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2复杂的公式应当都是由最简单最一般的公式循序渐进演变而来,所以肯定有更一般的
因式分解
复习到提公因式,呆...
就这几个破公式害我想了一星期.
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
复杂的公式应当都是由最简单最一般的公式循序渐进演变而来,所以肯定有更一般的公式能够表达这三个式子.
PS:使用这三个公式做题,但是我很好奇这三个公式是怎么形成.即：这三个公式的原理是什么?用一般的数学公式,如交换律、结合律该如何表示这三个公式.本人兴趣主要在哲学、逻辑学,所以能使用逻辑语言来阐述这三个公式的更一般形式更好.（如果在提问过程中我有一些见解是不对的,并及时的给予改正.我只是想知道为什么）
4L,确实，变变那个图就可以了。
但是，能不能使用除此之外的其它方法？
比如，能不能使用数轴，使用数轴又应该怎么做？使用其它更简单的公式对该公式又该怎么做？等等...
8L,我不是中学生，我也不是为了应付考试而学的数学。麻烦你搞懂我想问的东西再回答。

因式分解 复习到提公因式,呆...就这几个破公式害我想了一星期.a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2复杂的公式应当都是由最简单最一般的公式循序渐进演变而来,所以肯定有更一般的
(a+b)(a-b)
=a*(a+b)-b*(a+b)
=a*a+a*b-a*b-b*b
=a^2-b^2
(a+b)^2
=(a+b)*(a+b)
=a*(a+b)+b*(a+b)
=a*a+a*b+b*a+b*b
=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2
=(a-b)*(a-b)
=a*(a-b)-b*(a-b)
=a*a-a*b-b*a+b*b
=a^2-2ab+b^2
作为一个等式,等号两边互换,等式仍然成立.
就能得到你列出的3个公式

你要的答案在《几何原本》里，里面有几乎所有初等代数公式的由来。

这几个公式是反过来推得，反过来就可以拆开来乘了，然后就得到了前面的自然反过来就是公式啦

用下面的图，变变a，b就都得到了

公式就是公式，记住就行了，这就好比1+1=2，是一种规定

不要忘了逻辑有个大前提
公理（http://baike.baidu.com/view/326184.htm）－－
定理（http://baike.baidu.com/view/434662.htm?func=retitle）－－
公式（http://baike.baidu.com/view/645857.htm）

这几个公式很简单的，关键要理解什么叫因式分解，
因式分解就是与多项式乘法运算是相反的过程，
例如：(a+1)(a+2)=a²+3a+2， 这是乘法运算，
反过来，a²+3a+2=(a+1)(a+2)， 这就是因式分解，
所以你说的那些公式就是由乘法运算得来的，再反过来用于因式分解，
之所以把它们叫做公式，就是因为它们对于某些多项式具有普遍...

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这几个公式很简单的，关键要理解什么叫因式分解，
因式分解就是与多项式乘法运算是相反的过程，
例如：(a+1)(a+2)=a²+3a+2， 这是乘法运算，
反过来，a²+3a+2=(a+1)(a+2)， 这就是因式分解，
所以你说的那些公式就是由乘法运算得来的，再反过来用于因式分解，
之所以把它们叫做公式，就是因为它们对于某些多项式具有普遍的规律，
具体运算过程是：
(a+b)(a-b)=a²+ab-ab-b²=a²-b²
(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²
(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²

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lz是个中学生吧，我大概知道你困惑的是什么
那就是公式的直观性，
你又是变图，又是数轴，
无非就是要找到一种让你看上去一眼就能看出来这几个公式为什么成立而且好记的方法，
另外你还想找到一种以一概全的公式，但这会涉及到更多的知识，比如复数，所以这种公式只会更麻烦
此处最基本公式就是交换律、结合律的公式呗，但不是一步就能推出的
但是随着学习的深入，你会发...

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lz是个中学生吧，我大概知道你困惑的是什么
那就是公式的直观性，
你又是变图，又是数轴，
无非就是要找到一种让你看上去一眼就能看出来这几个公式为什么成立而且好记的方法，
另外你还想找到一种以一概全的公式，但这会涉及到更多的知识，比如复数，所以这种公式只会更麻烦
此处最基本公式就是交换律、结合律的公式呗，但不是一步就能推出的
但是随着学习的深入，你会发现知识越来越复杂了，特别是直观性越来越差了，往往不是一眼就能看出来的，
知道怎么证明，能记住就记住，记不住的查手册什么的就行了，
考试不会考怎么记都记不住的公式，重点是推理和运算

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我以前喜欢思考这样的问题，所以我理解你。
学抽象代数的话理解起来好一点。
代数一般都是这样的，有数，有运算。
数，实数，复数，等等，是对象
运算，加法，减法，等等，是操作
你说的三个公式中，涉及到加法，减法，乘法，乘方，
所以你要理解这三个公式，就要理解什么是加法，减法，乘法，乘方
这三个公式已经很基本了，他的来源是“实数域”的公理化定义，可...

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我以前喜欢思考这样的问题，所以我理解你。
学抽象代数的话理解起来好一点。
代数一般都是这样的，有数，有运算。
数，实数，复数，等等，是对象
运算，加法，减法，等等，是操作
你说的三个公式中，涉及到加法，减法，乘法，乘方，
所以你要理解这三个公式，就要理解什么是加法，减法，乘法，乘方
这三个公式已经很基本了，他的来源是“实数域”的公理化定义，可参考书籍
因为我当年逃课，所以很多忘记了，不能严密地回答你，但是你可以去看大学数学系的一些数，比如点集拓扑，抽象代数，群论等等，
所谓交换结合律都是在构造实数加法群，实数域中以公理出现的
有点跑题，在承认了交换律等之后再证明就方便了
如第一个平方差公式
(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b) //这一个等号用到了分配律
=aa-ab+ba-bb //这个等号也用了分配律
=a^2-ab+ab-b^2 //这个等号用到了乘法交换率ab=ba
=a^2-b^2 //这里用到了加法-ab+ab=0
证明完了
其他两个公式也一样地，我想学一点群论的皮毛就可以理解了

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①因为(a+b)(a-b)=a^2+ab-b^2-ab
化简为a^2-b^2
②
(a+b)^2=(a+b)(A+B)=a^2+ab+b^2+ab=a^2+2ab+b^2
③式道理和②式一样

⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果...

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⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
其余公式请参看上边的图片。
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(参看右图)．
[编辑本段]竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2. x3-x2+x-1
解法：=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
a b
×
c d
例如：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
⑻换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以参看右图。
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6时，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
⑿特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。
⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以参看右图。
⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
[编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”
几道例题
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的过程也可以参看右图。）
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
[编辑本段]因式分解四个注意：
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误
例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

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推导过程：
(a+b)(a-b)
=a*(a+b)-b*(a+b)
=a*a+a*b-a*b-b*b
=a^2-b^2
(a+b)^2
=(a+b)*(a+b)
=a*(a+b)+b*(a+b)
=a*a+a*b+b*a+b*b
=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2
=(a-b)*(a-b)
=a*(a-b)-b*(a-b)
=a*a-a*b-b*a+b*b
=a^2-2ab+b^2