作业帮求数学帝帮忙解线代证明题：证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使A=abT
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:16:16
求数学帝帮忙解线代证明题：证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使A=abT
求数学帝帮忙解线代证明题：证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使A=abT
求数学帝帮忙解线代证明题：证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使A=abT
充分性：若存在非零列向量a及非零行向量bT使A=abT ,那么由于R(A)=R(abT)=1;综合得R(A)=1.
必要性：
若R(A)=1,设A的维数是m*n.
将A写成A=[a1,a2,...,an],因为R(A)=1,则A中任意两列线性相关,即任取ai,aj,则有不全为零的ki,kj,使得ki*ai+kj*aj=0.不妨令a1不等于零,则可得出任意aj=-kj/k1*a1（k1不可能是0,否则kj也是0）；于是A=[a1,-k2/k1*a1,-k3/k1*a1,...,-kn/k1*a1]=a1*[1,-k2/k1,-k3/k1,...,-kn/k1],记a=a1,b=[1,-k2/k1,-k3/k1,...,-kn/k1]T,那么A=abT.易知a,bT均不为零.
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