证明::正交正定矩阵必为单位矩阵!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:45:05

证明::正交正定矩阵必为单位矩阵!
证明::正交正定矩阵必为单位矩阵!

证明::正交正定矩阵必为单位矩阵!
由定义,正交正定矩阵a,a*a'=a'*a=E；
另外显然有a*E=E*a=E;
比较二式,由于ab=ba=E中如果a、b正定,对正定的a,有b唯一,（正定的b,有a唯一）,
所以b=E,同理证得a=E；所以,a=b=a'=b’=E .

用A'表示矩阵A的转置
因为A正定，存在矩阵C，使A=C'C
A'=(C'C)'=C'C=A
又因为A正交
AA’=E=A^2
所以A=E

首先，你所说的正定一定要是对称正定，对于非对称的正定矩阵结论不成立。
如果是对称正定，那么很容易，考察下面事实
1.对于对称正定阵A，A可对角化，并且特征值是正实数；
2.对于正交阵A，A可对角化，其特征值都在单位圆周上；
3.相似于单位阵的矩阵只有单位阵。...

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首先，你所说的正定一定要是对称正定，对于非对称的正定矩阵结论不成立。
如果是对称正定，那么很容易，考察下面事实
1.对于对称正定阵A，A可对角化，并且特征值是正实数；
2.对于正交阵A，A可对角化，其特征值都在单位圆周上；
3.相似于单位阵的矩阵只有单位阵。

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