作业帮已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实跟,求abc的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:50:31
已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实跟,求abc的值
已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0
也有一个相同的实跟,求abc的值
已知三个不同的实数abc满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实跟,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实跟,求abc的值
X2+bx+c-(x2+cx+b)=0
(b-c)x=b-c
x=1
带入1式：
a=-2
所以：b+c=-1
b-c=5
b=-3
c=-2
a=-2,b=-2.5,c=2.5
现把第二和第四个算式减一下,能求出a和x,再把第三个和第五个算式减一下
设方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0 的一个相同的实根是α，则
α2+αx+1=0…………(1)
α2+bα+c=0 .…………(2)
(1)-(2)，得 (a-b) α+(1-c)=0
因为a≠b，所以 α=（ c-1)/(a-b)
设方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0的一个相同的实根...
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设方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0 的一个相同的实根是α，则
α2+αx+1=0…………(1)
α2+bα+c=0 .…………(2)
(1)-(2)，得 (a-b) α+(1-c)=0
因为a≠b，所以 α=（ c-1)/(a-b)
设方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0的一个相同的实根是β，则
β2+β+a=0…………(3)
β2+cβ+b=0…………(4)
(4)-(3)，得 (1-c)β+(a-b)=0，
因为a不能为0（否则x2+ax+1=0就无解），所以c≠1，所以β=(a-b)/(c-1)
不难看出： α=1/β
所以，以下四个方程都有同一个根β
β2+aβ+1=0………… (a)
cβ2+bβ+1=0…………(b)
β2+β+a=0 …………(c)
β2+cβ+b=0…………(d)
由 (c)-(a) ，得 (1-a)β+(a-1)=0，
因为方程 x2+ax+1=0有实数根， 所以a≠1, 所以β=1
代回 (a) 跟 (b) 得 a=-2,b+c=-1 .
考虑到 a-b+c=3, 故得 a=-2, b=-3, c=2.
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