作业帮已知动直线kx-y+2=0和圆x^2+y^2=1相交于A,B两点,求弦AB中点的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 19:24:54
已知动直线kx-y+2=0和圆x^2+y^2=1相交于A,B两点,求弦AB中点的轨迹方程.
已知动直线kx-y+2=0和圆x^2+y^2=1相交于A,B两点,求弦AB中点的轨迹方程.
已知动直线kx-y+2=0和圆x^2+y^2=1相交于A,B两点,求弦AB中点的轨迹方程.
动直线kx-y+2=0过定点N(0,2)
设AB中点为M（x,y）,
利用垂径定理,则OM垂直AB
即 OM⊥MN
∴ OM²+MN²=ON²
∴ x²+y²+x²+(y-2)²=4
即 x²+y²-2y=0
注意到弦的中点必须在圆内,且直线的斜率存在
∴ 轨迹方程是 x²+y²-2y=(x≠0,且在圆内的部分）
联立,
得到轨迹方程是 x²+y²-2y=(0<y<1/2)
(图像是红圆在绿圆内的部分,去掉原点)
kx-y+2=0
即 y=kx+2
圆x²+y²=1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)
x1²+y1²=1
x2²+y2²=1
(x2²-x1²)=-(y2²-y1²)
x1+x2=-(y2-y1)/(x2-x1) *(y1+y2)
...
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kx-y+2=0
即 y=kx+2
圆x²+y²=1相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)
x1²+y1²=1
x2²+y2²=1
(x2²-x1²)=-(y2²-y1²)
x1+x2=-(y2-y1)/(x2-x1) *(y1+y2)
=-k(y1+y2)
即 x²+(kx+2)²=1
(1+k²)x²+4kx+3=0
x1+x2=-4k/(1+k²)
y1+y2=4/(1+k)²
设中点坐标为(x，y)
则 2x=x1+x2=-4k/(1+k²)
2y=4/(1+k)²
y/x=-1/k
k=(y-2)/x
则 y=-x²/(y-2)
得 y²-2y+x²=0
弦AB中点的轨迹方程：x²+(y-1)²=1
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