作业帮已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,又三边a,b,c依次成等比数列,求证该△为等边△.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:43:24
已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,又三边a,b,c依次成等比数列,求证该△为等边△.
已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,又三边a,b,c依次成等比数列,求证该△为等边△.
已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,又三边a,b,c依次成等比数列,求证该△为等边△.
∵△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列
∴2B=A+C
∵A+B+C=180°
∴3B=180°
∴B = 60°
∵b^2 =a^2 + c^2 -2*a*c*cosB （已知三角形两边和夹角求第三边公式）
∴b^2 =a^2 + c^2 -2*a*c*cos60°
=a^2 + c^2 -2*a*c*1/2
=a^2 + c^2 -ac (1）
∵△ABC的三边a,b,c依次成等比数列
∴b^2 =ac （2）
将(1）式左边用（2）式代入,整理后得：
a^2 + c^2 -2ac = 0
∴ (a-c)^2 = 0
∴ a = c
∴A = C (等边对等角)
∴△ABC是等腰三角形
∵B = 60°
∴ △ABC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
根据题意
A+B+C=180
2B=A+C
B^2=AC
把2式代入1式 可以得到3B=180 所以B=60
把B=60代入2 3
得到A=C=60
因为A=B=C=60
所以。。。。。。
由题我们知道角B=60度,不妨设角A小于角C。所以c是最大的一条边。我们在AB上取一个点D，使得BD=BC，连接CD，此时BDC是一个等边三角形。AD=c-a,CD=a,角ADC=120度，由余弦定理（好像叫这个），得AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos(120度)=AC^2,即
b^2=(c-a)^2+a^2-2*cos(120度)*(c-a)*a,又因为a,b,c等比，设b=a*...
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由题我们知道角B=60度,不妨设角A小于角C。所以c是最大的一条边。我们在AB上取一个点D，使得BD=BC，连接CD，此时BDC是一个等边三角形。AD=c-a,CD=a,角ADC=120度，由余弦定理（好像叫这个），得AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos(120度)=AC^2,即
b^2=(c-a)^2+a^2-2*cos(120度)*(c-a)*a,又因为a,b,c等比，设b=a*q,c=a*q*q,代入得到(q*q-1)^2+(q*q-1)=0,所以易知q=1.原问题得证。
收起
设方程
用边和角的关系