如果实数x,y满足等式（x-2)^2+y^2=3,那么y/x的最大值是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 12:55:33

如果实数x,y满足等式（x-2)^2+y^2=3,那么y/x的最大值是?
如果实数x,y满足等式（x-2)^2+y^2=3,那么y/x的最大值是?

如果实数x,y满足等式（x-2)^2+y^2=3,那么y/x的最大值是?
令y/x=k
y=kx
则问题是直线和圆又公共点时,直线斜率的最大值
y=kx都过原点,且原点在圆外
所以斜率的最大值应该在直线是切线时取到
（x-2)^2+y^2=3
圆心(2,0)半径r=√3
圆心到切线距离等于半径
所以|2k-0|/√(k^2+1)=√3
平方
4k^2=3(k^2+1)
k^2=3
所以k最大=√3
所以y/x的最大值是√3

y/x=t
y=xt
带入（x-2)^2+y^2=3
（1+t^2)x^2-4x+1=0
判别式=16-4（1+t^2)≥0
-√3≤t≤√3
所以：y/x的最大值=√3

(x-2)^2+y^2=3
x^2-4x+4+y^2=3
x^2-4x+y^2+1=0
设y/x=k
(k^2+1)x^2-4x+1=0
16-4(k^2+1)>=0
k^2<=3
-根号3<=k<=根号3
y/x的最大值是根号3

y/x相当于圆上的点(x,y)到原点的斜率的最大值
（x-2)^2+y^2=3圆心为(2,0)
设y=kx
即y=kx中k的最大值
当圆心到kx-y=0距离为根号3时k最大
所以绝对值(2k-0)/√(k^2+1)==√3
k==√3

(x,y)的图像是以点(2,0)为圆心、R=√3为半径的圆，画图可知该圆整体处于第一和第四项限内。令y/x=k,则k的最大值则是直线y=kx在第一项限与圆相切时，直线的斜率k。此时，直线与X轴夹角正好为60°，故k=√3，即x/y的最大值为√3.

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