已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 09:00:29

已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、
已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、

已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、
令1/a=x 1/b=y 1/c=z
则x+y+z=1
(1+x)+(1+y)+(1+z)=4 (1)
a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1/(1/a+1)+1/(1/b+1)+1/(1/c+1) 变为
1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)>=9/4
[1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]((1+x)+(1+y)+(1+z))
=1+(1+y)/(1+x)+(1+z)/(1+x)+1+(1+x)/(1+y)+(1+z)/(1+y)+1+(1+x)/(1+z)+(1+y)/(1+z)
=3+[(1+y)/(1+x)+(1+x)/(1+y)]+[(1+z)/(1+y)+(1+y)/(1+z)]+[(1+z)/(1+x)+(1+x)/(1+z)]
>=3+6
=9
(1)=4
所以
1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)>=9/4
所以 a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)>=9/4

全部展开

你知道凸函数的定义和性质么？我想到的方法是应用凸函数性质
对所要证明的不等式a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)>=9/4进行变换得到1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)<=3/4
在进行变换得到（1/a）/(1+1/a)+（1/b）/(1+1/b)+（1/c）/(1+1/c)<=3/4
考虑函数f（x）=x/（1+x），求二阶导可得出函数是凸函数，由此得出
f（p1x1+p2x2+p3x3）<=p1f（x1）+p2f（x2）+p3f（x3），取p1=p2=p3=1/3;x1=1/a,x2=1/b,x3=1/c
则可得出
f（1/a）/3+f（1/b）/3+f（1/c）/3<=f((1/a+1/b+1/c)/3)=f(1/3)=1/4
化简后就可以了

收起

已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、已知正数a,b,c满足1/a+1/b+1/c=1,证明:a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)大于等于9/4、已知正数a、b、c满足3a+4b+5c=1,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值已知正数a、b、c满足3a+4b+5c=1,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值. 一个小小数学题已知正数a,b,c满足：ab+bc+ca=1,求证已知四个正数a、b、c、d满足a 急!已知三个正数a,b,c满足a 已知正数a,b满足ab=1,则满足不等式a/a^2+1+b/b^2+1 已知三个正数a,b,c满足2a≤b+c≤4a,-a≤b-c≤a,则其中可作为b/c+c/b的取值是 A.1 B.e C.3 D.π 已知,正数a,b,c,满足a+b+c=1,求1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值多少? 已知正数a,b,c满足a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,则abc的最小值为? 已知三个正数a、b、c,满足abc=1.求(a／ab+a+1 )+(b／bc+b+1)+(c／ac+c+1) 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=4,那么1/a+1/b+1/c是正数,负数,还是0,还是可正可负? 1.已知a.b.c满足a+b+c=0 ,abc=8 则1/a+1/b+1/c是正数负数还是0? 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,则(1/a)+(1/b)+(1/c)是正数负数还是零? 已知正数ab满足a+2b=3,则1／a+1/b的最小值已知正数a,b满足a+b=1,求ab+1/ab的最小值.紧急, 已知正数ab满足a+b=1,求1/a+2/b的最小值.