不在同一直线上的三点A,B,C在平面外的一点,M,N,G分别为三角形ABC,三角形ABC,三角形ABD,三角形BCD的重心.求证:(1) 平面MNG//平面ACD;(2) 求三角形MNG的面积:三角形ACD的面积.图在我空间相册里

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 15:27:20

不在同一直线上的三点A,B,C在平面外的一点,M,N,G分别为三角形ABC,三角形ABC,三角形ABD,三角形BCD的重心.求证:(1) 平面MNG//平面ACD;(2) 求三角形MNG的面积:三角形ACD的面积.图在我空间相册里
不在同一直线上的三点A,B,C在平面外的一点,M,N,G分别为三角形ABC,三角形ABC,三角形ABD,三角形BCD的重心.
求证:(1) 平面MNG//平面ACD;
(2) 求三角形MNG的面积:三角形ACD的面积.
图在我空间相册里

不在同一直线上的三点A,B,C在平面外的一点,M,N,G分别为三角形ABC,三角形ABC,三角形ABD,三角形BCD的重心.求证:(1) 平面MNG//平面ACD;(2) 求三角形MNG的面积:三角形ACD的面积.图在我空间相册里
解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD,由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心,因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线.
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,
则有：
连结PF、FH、PH有MN‖PF,又PF 平面ACD,∴MN‖平面ACD.
同理：MG‖平面ACD,MG∩MN＝M,
∴平面MNG‖平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行,因此,求两三角形的面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比.
由（1）可知 ,
∴MG＝ PH,又PH＝ AD,∴MG＝ AD
同理：NG＝ AC,MN＝ CD,
∴ MNG∽ ACD,其相似比为1：3,
∴ ＝1：9
点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何.比如重心定理,三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

重心是三条中线的交点，由中线性质知BM/BP=BG/BH=BN/BF=2/3,PH/AD=PF/CD=FH/AC=1/2,
由三角形相似知，MG/PH=MN/PF=NG/FH=2/3,所以MG/AD=MN/CD=NG/AC=1/3,所以三角形相似，面积比为边长比的平方。