作业帮三角形ABC中,角A为直角,D为AC的中点,AE垂直DB于E,且BE=2DE,求证：BC=3AE
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 09:28:06
三角形ABC中,角A为直角,D为AC的中点,AE垂直DB于E,且BE=2DE,求证：BC=3AE
三角形ABC中,角A为直角,D为AC的中点,AE垂直DB于E,且BE=2DE,求证：BC=3AE
三角形ABC中,角A为直角,D为AC的中点,AE垂直DB于E,且BE=2DE,求证：BC=3AE
可设a=DE,则BE=2a
△AED∽△BEA
所以AE^2=BE*DE=2a^2
AB^2 = AE^2+BE^2 = 2a^2+4a^2=6a^2
AD^2 = AE^2 + DE^2 = 2a^2+a^2=3a^2
AC=2AD
AC^2=4AD^2=12a^2
BC^2=AB^2+AC^2=6a^2+12a^2=18a^2
BC^2/AE^2=18a^2/(2a^2)=9
所以BC/AE=3
BC=3AE
△AED∽△BEA
AE^2=DE*BE AE=√2DE
AD/AB=ED/AE=1/√2 AB=√2AD
BC^2=4AD^2+AB^2=6AD^2
BC=√6AD
AD^2=AE^2+DE^2
BC^2/6=AE^2+AE^2/2
BC^2=9AE^2
BC=3AE
延长AE交BC于F，因为D是AC的中点，BE=2DE，所以E是三角形ABC的重心，AE=2FE,F是BC的中点，BC＝2AF，BC=3AE
此题用射影定理做也是一种方法
因为BE=2DE
所以设DE=x BE=2x
在直角三角形ABC中因为AE垂直于BD
由射影定理得
AE^2=BE×DE=x•2x=2x^2
AE=√2x
AB^2=BE×BD=2x•3x=6x^2
AB=√6x
AD^2=DE×BD=x•3x=3x^2
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此题用射影定理做也是一种方法
因为BE=2DE
所以设DE=x BE=2x
在直角三角形ABC中因为AE垂直于BD
由射影定理得
AE^2=BE×DE=x•2x=2x^2
AE=√2x
AB^2=BE×BD=2x•3x=6x^2
AB=√6x
AD^2=DE×BD=x•3x=3x^2
AD=√3 x
因为D为AC的中点
所以AC=2AD=2√3 x
由勾股定理得
BC2＝AC2＋AB2
＝（2√3 x）2＋（√6x）2
＝18x2
BC=3√2x
所以BC=3AE
收起
设DE为1，则BE为2，根据摄影定理或相似三角形，即三角形DEA相似与三角形DAB,可求出AE=根号2，则根据勾股定理可依次求出AB=根号6，AD=根号3，因为D是中点，所以AC=2倍根号3，再根据勾股定理求出BC=3倍根号2，即BC=3AE.
也可设为a做。
或者不设数值，根据上述关系捣成谁等于几倍的谁这样的关系式做。
不懂再问我吧！...
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设DE为1，则BE为2，根据摄影定理或相似三角形，即三角形DEA相似与三角形DAB,可求出AE=根号2，则根据勾股定理可依次求出AB=根号6，AD=根号3，因为D是中点，所以AC=2倍根号3，再根据勾股定理求出BC=3倍根号2，即BC=3AE.
也可设为a做。
或者不设数值，根据上述关系捣成谁等于几倍的谁这样的关系式做。
不懂再问我吧！
收起
硬算，，证明，求AE和BC
设DE=X,则BE=2X
由射影定理得X*2X=AE^2,所以AE=（根号2）X
由勾股定理得AD=DC=(根号3）*,AB=(根号6)X，所以AC=(2根号3）X
再由勾股定理得BC=3X
所以BC=3AE