作业帮若a,b,c均为正数若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:05:45
若a,b,c均为正数若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
若a,b,c均为正数
若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
若a,b,c均为正数若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27
证：(1)该式齐次化为：a^2+b^2+c^2>=[(a+b+c)^2]/3
上式等价于：3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2>=2ab+2bc+2ca
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
上式显然成立.
(2)很简单,由卡尔松不等式：
(a+b+c)(a+b+c)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=(1+1+1)^3=27
即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=27
证毕,
问题？
哦，会了
1)
1=（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc<=3a^2+3b^2+3c^2
即 a^2+b^2+c^2≥1/3（ 利用2xy<=x^2+y^2)
2)
3/{1/a^2+1/b^2+1/c^2}（调和平均数）<=(a^2 b^2 c^2)^(1/3) 几何平均数
={(abc)^1/3}^2~~~平方里面的几何平均数<={...
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1)
1=（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc<=3a^2+3b^2+3c^2
即 a^2+b^2+c^2≥1/3（ 利用2xy<=x^2+y^2)
2)
3/{1/a^2+1/b^2+1/c^2}（调和平均数）<=(a^2 b^2 c^2)^(1/3) 几何平均数
={(abc)^1/3}^2~~~平方里面的几何平均数<={(a+b+c)/3}^2~~~平方里面的算数平均数 =1/9
所以1/a^2+1/b^2+1/c^2≥27 （证毕）
以上是利用均值不等式 证明的~~~~~~~~~~~
其实说句实在的 不等式这章的题相当的简单！！！！！！
只要你把
均值不等式 记住 这些一般的证明题 简直看一眼就知道答案。
多元均值不等式中 调和平均数 <=几何平均数<=算数平均数<=加权平均数（这个具体不知道怎么回事 就自己在网上搜索。
当然利用这些不等式 往往可以 越过中间量。。。。。。。。。。
所以不等式证明 是超级的简单
不过难的是 有些不等式证明 要构造三角形三边 构造什么等边三角形
不过那些一般高考都不考。。。。。。。
纯的不等式 在高考中 一般不以大题出现
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