作业帮请教一道有关周期函数的题：f(x)是R上的有界函数,f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7),求f(x)较小的正周期.参考书上的答案是1/42,但过程不对.我自己只能证出1为f(x)的周期.怎样解出1/42为f(x)周期,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:56:53
请教一道有关周期函数的题：f(x)是R上的有界函数,f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7),求f(x)较小的正周期.参考书上的答案是1/42,但过程不对.我自己只能证出1为f(x)的周期.怎样解出1/42为f(x)周期,
请教一道有关周期函数的题：
f(x)是R上的有界函数,f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7),求f(x)较小的正周期.
参考书上的答案是1/42,但过程不对.我自己只能证出1为f(x)的周期.
怎样解出1/42为f(x)周期,
请教一道有关周期函数的题：f(x)是R上的有界函数,f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7),求f(x)较小的正周期.参考书上的答案是1/42,但过程不对.我自己只能证出1为f(x)的周期.怎样解出1/42为f(x)周期,
将写成傅里叶积分形式
于是有
e^(ik 13/42)+e^(ik )=e^(ik 1/6)+e^(ik 1/7)
两边计算各自复共轭,并令k/42=s
e^(i13s)+e^(i42s)-e^(i6s)-e^（i7s)=0
e^(i7s)+e^(i36s)-1-e^（is)=0
（e^(i6s)-1）{e^(i30s)+e^(i24s)+e^(i18s)+e^(i12s)+e^(i6s)+1+e^（is)}=0
s=2Pi/6 n,是一个解,不知还有无其他解
这样
k=14Pi n
周期是1/7
1为f(x)的周期
你说得对，书上的答案也许是错的
因为对任何x∈R,有
f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7)，
故f(x+7/42)-f(x)=f(x+13/42)-f(x+6/42)
````````````````=f(x+19/43)-f(x+12/42)
````````````````=……=f(x+...
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1为f(x)的周期
你说得对，书上的答案也许是错的
因为对任何x∈R,有
f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7)，
故f(x+7/42)-f(x)=f(x+13/42)-f(x+6/42)
````````````````=f(x+19/43)-f(x+12/42)
````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+42/42).
即f(x+42/42)-f(x)=f(x+49/42)-f(x+7/42)……(1)
同样,有
f(x+7/42)-f(x+1/42)=f(x+14/42)-f(x+8/42)
```````````````````=f(x+21/42)-f(x+15/42)
```````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+43/42)-f(x)
即f(x+49/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)……(2)
由(1)(2),得
f(x+42/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)
```````````````=f(x+44/42)-f(x+2/42)
```````````````=……=f(x+84/42)-f(x+42/42),
即f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1).
因此,f(x+n)=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有n∈N成立.
又因为对所有x∈R,|f(x)|≤1,即f(x)有界,故只有f(x+1)-f(x)≡0.
因此对所有x∈R,f(x+1)=f(x),即f(x)为周期函数.
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