作业帮平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成___部分.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:41:48
平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成___部分.
平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成___部分.
平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆将平面分成___部分.
第n个圆将平面分成f(n)部分
第n-1个圆将平面分成f(n-1)部分
则第n个圆与前n-1个圆有2(n-1)个交点,将圆分成2(n-1)段弧,
每一段弧将其所在区域一分为二
所以 f(n)=f(n-1)+2(n-1)
f(1)=2
f(2)-f(1)=2
f(3)-f(2)=4
.
f(n)-f(n-1)=2(n-1)
叠加
f(n)=2+2+4+.+2(n-1)
=2+[2+2(n-1)]*(n-1)/2
=2+n(n-1)
=n²-n+2
这n个圆将平面分成__n²-n+2 _部分.
2^n
f(n)=n^2-n+2
补充回答：
f(n+1)=(n+1)^2-(n+1)+2=n^2+2n+1-n-1+2=(n^2-n+2)+2n=f(n)+2n
所以选B.f(n+1)=f(n)+2n
f(n)=n^2-n+2的证明
构建问题：求证：f(n)=n^2-n+2个部分.
思路分析：用数学归纳法证明几何问题，
证明：(1)当n=1时，一个...
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f(n)=n^2-n+2
补充回答：
f(n+1)=(n+1)^2-(n+1)+2=n^2+2n+1-n-1+2=(n^2-n+2)+2n=f(n)+2n
所以选B.f(n+1)=f(n)+2n
f(n)=n^2-n+2的证明
构建问题：求证：f(n)=n^2-n+2个部分.
思路分析：用数学归纳法证明几何问题，
证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两部分，
1^2-1+2=2，故命题成立.
(2)假设当n=k时命题成立(k∈N*)，
即k个圆把平面分成k^2-k+2个部分.
当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成了k^2-k+2个部分，
第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在的部分分成了两块，这时共增加了2k个部分，即k+1个圆把平面分成(k2-k+2)+2k=(k+1)2-(k+1)+2个部分，
即当n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)知，对一切n∈N*，命题都成立.
f(n)=n^2-n+2
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