求高二不等式证明所有题型和解析!我学不等式证明很有问题

求高二不等式证明所有题型和解析!我学不等式证明很有问题
求高二不等式证明所有题型和解析!
我学不等式证明很有问题

求高二不等式证明所有题型和解析!我学不等式证明很有问题
例1 已知a,b,c∈R+,证明不等式：
当且仅当a=b=c时取等号.
解 用综合法.因a＞0,b＞0,c＞0,故有
三式分边相加,得
当且仅当a=b=c时取等号.
例2 设t＞0.证明：对任意自然数n,不等式
tn-nt+(n-1)≥0
都成立,并说明在什么条件下等号成立.
解 当n=1时,不等式显然成立,且取等号.
当n≥2时,由幂分拆不等式,可得以下n-1个不等式：
t2+1≥t+t,t3+1≥t2+t,…,
tn-1+1≥tn-2+t,tn+1≥tn-1+t
以上各式当且仅当t=1时取等号.把它们分边相加,得
故对任意n∈N,不等式获证.等号成立的条件是n=1,或t=1.
注 ①在以上不等中令t=1+x(x＞-1),即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx
例3 设a,b,c都是正数,证明不等式
当且仅当a=b=c时取等号.
分析 本例有多种精彩证法.根据对称性,可从左边一项、两项入手,当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手.
解 [法一] 从一项入手,适当配凑后由平均值不等式知
三式分边相加,即得
时,上式取等号.
[法二] 从两入手,利用幂分拆不等式,有
同理有
三式分边相加,得
[法三] 从整理入手,原不等式等价于
进一步证明参考习题5-2-7(1)解答.
[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,y,∈R+)的变式
三式分边相加,得
所以
注 从证法4我们看到,利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x,
式不等式,思路自然,简捷明快,颇具特色.
例4 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α,β.证明：若|α|＜2,|β|＜2,则|q|＜4,且2|p|＞4+q.
解 先证|q|＜4,由韦达定理知
|q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4
再证2|p|＞4+q.
欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ.故只须证
4(α+β)2＜(4+αβ)2
即 4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2
从而只须证
16-4α2-4β2+α2β2＞0
即 (4-α2)(4-β2)＞0
由|α|＜2,|β|＜2,知α2＜4,β2＜4,故最后不等式成立,从而原不等式得证.
例5 证明：若a,b,c是三角形的三边,则
3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)
当且仅当三角形为正三角形时,左边取等号.
解 左边不等式等价于
3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
欲证此不等式成立,只须证
ab+bc+ca≤a2+b2+c2
即证
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0
左边配方即为
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
此不等式显然成立,当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时取等号.故左边不等式获证.
欲证右边不等式,仿上只须证
a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)
从而只须证
(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0
即证
a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0
由于a,b,c是三角形的三边,此不等式显然成立,故右边不等式获证.
综上所述,原不等式得证.
例6 设f(x)=x2+px+q(p,q∈R),证明：
(2)若|p|+|q|＜1,则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1.
解 用反证法
但是,
|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)
(i)与(ii)矛盾,故假设不成立,即原命题成立.
(2)假设f(x)=0的两根x1,x2的绝对值不都小于1,不妨设|x1|≥1,那么由韦达定理,有
|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2|
|q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2|
两式分边相加,得
|p|+|q|≥1
这与题设矛盾,故假设不成立,即原命题得证.
注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论.反证法常用于直接证明难于入手的命题,或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题.
不等式证明知识概要
河北/赵春祥
不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大.解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式,灵活运用常用的证明方法.
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.
(2)商值比较法的理论依据是：“若a,b∈R+,a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法.
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B.
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA,书写的模式是：为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.
4.反证法有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法.
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题,实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1,可设x=cosθ,y=sinθ；②若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式,由于|x|≤1,可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知,可设x=taaA,y=tanB,z=tanC,其中A+B+C=π.(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简.如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元.
6.放缩法放缩法是要证明不等式A

不等式的证明，基本方法有以下几种,你都好好看看,把每种题型都背下来,相信你能学好的!
比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法
综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。
换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

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不等式的证明，基本方法有以下几种,你都好好看看,把每种题型都背下来,相信你能学好的!
比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法
综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。
换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考
反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立
放缩法：
用柯西不等式证。等等……
高考不是重点，但是难点。
大学数学也会讲到柯西不等式。
如果a、b都为实数，那么a平方+b平方≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）
和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等）
积定和最小：当ab=P是，a+b≥2√P（a=b取等
概念：N个正实数的算术平均数大于等于其几何平均数
算术平均数，arithmetic mean，用一组数的个数作除数去除这一组数的和所得出的平均值，也作average
几何平均数，geometric mean，作为n个因数乘积的数的n次方根，通常是n的正数根
设a1,a2,a3,...,an是n个正实数，则(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，当且仅当a1=a2=…=an时，均值不等式左右两边取等号
[编辑本段]●【均值不等式的变形】
(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）
[编辑本段]●【均值不等式的证明】
方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)
[编辑本段]●【均值不等式的应用】
例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周长最小值为4√p
例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16
[编辑本段]●【均值不等式的总结】
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
【柯西不等式的证法】
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
[编辑本段]【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
■巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．

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