作业帮矩阵乘法结合律如何证明?矩阵的乘法满足以下的结合律：(AB)C=A(BC)请问上式如何通过矩阵的定义证明呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 07:53:33
矩阵乘法结合律如何证明?矩阵的乘法满足以下的结合律：(AB)C=A(BC)请问上式如何通过矩阵的定义证明呢?
矩阵乘法结合律如何证明?
矩阵的乘法满足以下的结合律：
(AB)C=A(BC)
请问上式如何通过矩阵的定义证明呢?
矩阵乘法结合律如何证明?矩阵的乘法满足以下的结合律：(AB)C=A(BC)请问上式如何通过矩阵的定义证明呢?
设n阶矩阵为A=(aij),B=(bij),C=(cij),AB=(dij),BC=(eij),(AB)C=(fij),A(BC)=(gij)
由矩阵的乘法得
dij=ai1*b1j+ai2*b2j+...+ain*bnj,i,j=1,2,...,n,
eij=bi1*c1j+bi2*c2j+...+bin*cnj,i,j=1,2,...,n,
fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj,i,j=1,2,...,n,
gij=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj,i,j=1,2,...,n,
故对任意i,j=1,2,...,n有,
fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj
=(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c1j+(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c2j+...+(ai1*b1n+ai2*b2n+...+ain*bnn)*cnj
=ai1(b11*c1j+b12*c2j+...+b1n*cnj)+ai2(b21*c1j+b22*c2j+...+b2n*cnj)
+...+ain(bn1*c1j+bn2*c2j+...+bnn*cnj)
=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj=gij
故(AB)C=A(BC).
图书馆借本南开大学出版的《高等代数与几何》，
很好的一本书，你可以在上面找到你要的！~
只需证明 （AB）c=A（Bc），其中c为C的任一列
令B=（b1,b2,...,bn);其中b1,b2,...,bn依次为其各列
则
AB=（Ab1,Ab2,...,Abn)
（AB）c=c1*Ab1+c2*Ab2+。。。+cn*Abn
where
c=（c1，c2，。。。，cn）...
全部展开
只需证明 （AB）c=A（Bc），其中c为C的任一列
令B=（b1,b2,...,bn);其中b1,b2,...,bn依次为其各列
则
AB=（Ab1,Ab2,...,Abn)
（AB）c=c1*Ab1+c2*Ab2+。。。+cn*Abn
where
c=（c1，c2，。。。，cn）'
---
A（Bc）=A*(c1*b1+c2*b2+。。。+cn*bn)
故
（AB）c=A（Bc）
由此，不难说明
（AB）C=A（BC）
收起