作业帮设a,b,c为△ABC三边,试比较a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 20:00:10
设a,b,c为△ABC三边,试比较a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系
设a,b,c为△ABC三边,试比较a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系
设a,b,c为△ABC三边,试比较a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系
答：
a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系判断如下：
(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2-a^2-b^2-c^2
=(a-b+c)(a-b-c)+(a-c+b)(a-c-b)+(b-c+a)(b-c-a)
三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
所以：
(a-b+c)>0,(a-b-c)<0
(a-c+b)>0,(a-c-b)<0
(b-c+a)>0,(b-c-a)<0
所以：(a-b+c)(a-b-c)+(a-c+b)(a-c-b)+(b-c+a)(b-c-a)<0
所以：(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)<0
所以：
a^2+b^2+c^2＜2(ab+ac+bc)
由于内切圆的存在
存在3个正数x,y,z
使得
a=x+y
b=y+z
c=z+x
a^2+b^2+c^2
=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
2(ab+ac+bc)
=2[(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)]
=2[x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zy]
...
全部展开
由于内切圆的存在
存在3个正数x,y,z
使得
a=x+y
b=y+z
c=z+x
a^2+b^2+c^2
=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)
2(ab+ac+bc)
=2[(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)]
=2[x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zy]
a^2+b^2+c^2<2(ab+ac+bc)
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