作业帮已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.求an
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 09:45:02
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.求an
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.求an
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.求an
∵Sn+an=2n+1……①得：
S(n-1)+a(n-1)=2n-1……②
①-②得：
2an=a(n-1)+2
等式两边同减4得：
2(an-2)=a(n-1)-2即：an-2=(1/2)[a(n-1)-2]
∴{an-2}是以1/2为公比以-1/2位公差的等比数列
∴an-2=-(1/2)^n
an=2-(1/2)^n
Sn+an=2n+1
S(n-1)+a(n-1)=2(n-1)+1=2n-1
两式相减：Sn-S(n-1)+an-a(n-1)=2 => an+an-a(n-1)=2 => 2an-a(n-1)=2
2(an-2)=a(n-1)-2 => {an-2}为等比数列
S1+a1=2a1=3 =>a1=3/2
an-2=-1/2 *(1/2)^(n-1)=-1/2^n
an=-1/2^n + 2
n=1时，
S1+a1=2a1=2+1=3
a1=3/2
n≥2时，
Sn=-an+2n+1 S(n-1)=-a(n-1)+2(n-1)+1
Sn-S(n-1)=an=-an+2n+1+a(n-1)-2(n-1)-1=-an+a(n-1)+2
2an=a(n-1)+2
2an-4=a(n-1)-2
(an -2)/[a(n-1)-2...
全部展开
n=1时，
S1+a1=2a1=2+1=3
a1=3/2
n≥2时，
Sn=-an+2n+1 S(n-1)=-a(n-1)+2(n-1)+1
Sn-S(n-1)=an=-an+2n+1+a(n-1)-2(n-1)-1=-an+a(n-1)+2
2an=a(n-1)+2
2an-4=a(n-1)-2
(an -2)/[a(n-1)-2]=1/2，为定值。
a1 -2=3/2 -2=-1/2
数列{an -2}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an -2=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
an=2-1/2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2-1/2ⁿ。
收起