求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小如果可以的话顺便算一下每个顶点立体角的大小有加分嗒*^-^*emmm如果是用向量做的话,请附上建系你是用Matlab的么？有没有源代码？Mat

求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小如果可以的话顺便算一下每个顶点立体角的大小有加分嗒*^-^*emmm如果是用向量做的话,请附上建系你是用Matlab的么？有没有源代码？Mat
求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小
如果可以的话顺便算一下每个顶点立体角的大小
有加分嗒*^-^*
emmm如果是用向量做的话,请附上建系
你是用Matlab的么？有没有源代码？
Mathematica用得痛苦了

求正十二面体和正二十面体的相邻两个表面的二面角大小如果可以的话顺便算一下每个顶点立体角的大小有加分嗒*^-^*emmm如果是用向量做的话,请附上建系你是用Matlab的么？有没有源代码？Mat
我可以给出 正20面体的解法.（由于正12面体的每个面都是正5边行,解决起来比较麻烦,但是是可以解的,解法跟正20面体基本是一样的,就不在这里写了.）
[思路]
研究 由单独的一个面和体中心 组成的这个 正3棱锥
1.正3棱锥的顶立体角应该是 一个完全立体角的20分之一 也就是4π/20
2.然后通过这个 顶立体角 我们可以算出 正3棱锥任意侧面的顶角 和各种其他角度
3.因此我们可以容易地算出 相临两面的2面角（最后这部分用高中几何知识就可以解决）
[解]：
为了研究方便,我们取 顶点到体中心距离为1 的 正20面体来研究 （无论这个长度是多少,都不会影响最后要求的2面角角度,所以无所谓）
我们先取它的任意一个 面与体中心组成的 正3棱锥 来研究
1.正3棱锥的顶立体角Ω= 4π/20 =π/5 （全立体角是4π,它被20个面所对应的20个正3楞锥的20个顶立体角所平分）
2.这部分是最麻烦的,我们先研究顶角与棱锥所对应的“球面三角形”面积的关系,这个面积就是立体角（因为半径是1）
我们将正3棱锥 表示成 正3棱锥O-ABC ,O为顶点,ABC为底边正三角形.记∠AOB=∠BOC=∠COA=θ
由于OA=OB=OC=1
所以由余弦定理可知 AB=BC=CA=2-2cosθ
作AP,BP垂直OC于P
记φ=∠APB就是 三棱锥两个侧面的2面角
过O作OQ垂直BC于Q
OQ=cos(θ/2)
由三角形OBC等面积 我们可以知道：
1/2 * BC * OQ = 1/2 * AC * BP
于是,我们求得
BP=(2-2cosθ)cos(θ/2)=AP
在三角形APB中,根据余弦定理,我们可以得到
cosφ=cos∠APB=[2cos方(θ/2)-1]/2cos方(θ/2)= cosθ/(cosθ+1)
cosφ= cosθ/(cosθ+1)
φ=arccos[cosθ/(cosθ+1)]----------------***
ABC在球面上形成的“球面三角形”（注意 球面三角形ABC 与 平面三角形ABC 是两码事）的面积 我们可以通过如下公式求得：
球面三角形面积公式：
S=πr方(s/π-1)-----------------------------###
其中S为球面三角形面积,r为球面半径,s为球面三角形内角和
现在关键是求这个内角和
这个内角和等于 球面三角形ABC在 点C上的角的三倍 （三个角是相等的 随便取哪个都一样）
点C上的角 等于面ABC ACB与 球面相交 得到的两条 相交圆弧 在C点上的 两条切线 的 夹角
由于OC垂直于 球面,所以这个夹角 就等于 AOC BOC 的2面成角
也就等于φ=∠APB
于是球面三角形ABC的内角和 s=3φ=3arccos[cosθ/(cosθ+1)]
代入面积公式得：
S=πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}
因为球半径为1,因此这个面积 就等于 锥体的顶立体角 π/5
即πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}=π/5 (r=1)
我们把θ解出来：
cosθ=cos(2π/5)/[1-cos(2π/5)]------------@@@
3.我们来求 相临两面的2面角
这个2面角我们可以看作 是 一个棱锥 经过 旋转到 相临棱锥位置 所转动的角度.
所以这个2面角 = 相临两个棱锥的“体高”的夹角
（体高就是 顶点O到 底边中心 O’ 的连线）
还是对于刚才的3棱锥研究
过顶点O做 OO’垂直于底面ABC于O’
作AO’垂直BC于M
∠O’OM的2倍 就是我们要求的2面角
记α=∠O’OM
sinα=O’M/OM=AM/3OM=(AB根号3/2)/3OM=(根号3/6)AB/OM
=(根号3/6)(2-2cosθ)/cos(θ/2)-------------%%%
将上式中的cos(θ/2)用 根号(cosθ+1/2)替换
然后全部的cosθ都用2.中的@@@式替换
得到
sinα=(根号6/3)[1-2cos(2π/5)]/根号[1-cos(2π/5)]---------&&&
将cos(2π/5)=sin18°=(-1+√5)/4代如 上式 ,得到：
sinα=(根号6/3)(3-根号5)/(5-根号5)
cosα=根号(1-sin方α)=.略
sin2α=2sinαcosα=.略
2α=arcsin.略 -----------这个2α就是所求.
太麻烦了,终于写完了,不是复制粘贴的哦.

正十二面体 116.56505° = arccos(-1/√5)
正二十面体 138.189685°
我是查出来的

项量法，绝对是最好的方法！先建系！求法项量！最后两项量的数字集/它们的膜长就好啦.只要细心点就好啦！

正十二面体 126.57605°
正二十面体 135.159685°

正十二面体 126.57605°
正二十面体 135.159685°

不会

可以去查表，有通用算法。

兄弟，上面不好说，
给你看个课件
http://jylicai.com/netteach/cw04-05/ja/g2w4sx65560t05.doc

正20面体由20个等边三角形围成；也可以说是由20个正三棱锥顶点放一起构成
1。正3棱锥的顶点立体角是一个完全立体角的20分之一 也就是4π/20 =π/5
2。不妨记：正3棱锥O-ABC ，O为顶点，ABC为底边正三角形。∠AOB=∠BOC=∠COA=θ
外接球面半径： OA=OB=OC=1
三角形AOB由余弦定理：
棱长AB=2-2cosθ

全部展开

正20面体由20个等边三角形围成；也可以说是由20个正三棱锥顶点放一起构成
1。正3棱锥的顶点立体角是一个完全立体角的20分之一 也就是4π/20 =π/5
2。不妨记：正3棱锥O-ABC ，O为顶点，ABC为底边正三角形。∠AOB=∠BOC=∠COA=θ
外接球面半径： OA=OB=OC=1
三角形AOB由余弦定理：
棱长AB=2-2cosθ
作AP，BP垂直OC于P
三棱锥两个侧面的2面角:φ=∠APB

过O作OQ垂直BC于Q， OQ=cos(θ/2）
三角形OBC面积 ：
1/2 * BC * OQ = 1/2 * AC * BP
BP=(2-2cosθ)cos(θ/2)=AP

三角形APB中，由余弦定理：
cosφ=cos∠APB=[2cos方(θ/2)-1]/2cos方(θ/2)= cosθ/(cosθ+1)
于是，cosφ= cosθ/(cosθ+1)
求得三棱锥中二面角：φ=arccos[cosθ/(cosθ+1)]----------------***
关键：球面三角形内角等于的三棱隹2面角

准备知识：
球面三角形面积公式：
S=πr方(s/π-1)--------------------------***
S：球面三角形面积，r：球面半径，s：球面三角形内角和
球面三角形ABC的三内角是相等的 点C上的角 等于大圆弧线AC,BC在C点上的 两条切线 的夹角
由于半径OC 垂直球面大圆弧线AC,BC，球面三角形内角等于的三棱隹2面角 ：φ=arccos[cosθ/(cosθ+1)]
球面三角形ABC的内角和 s=3φ=3arccos[cosθ/(cosθ+1)]
代入面积公式S=πr方(s/π-1得：
S=πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}
r=1，球面三角面积等于三棱锥顶点处立体角π/5
S=πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}=π/5
解出θ：
cosθ=cos(2π/5)/[1-cos(2π/5)]------------@@@
3 相临两面的2面角
ABC旁边相临面ABZ
2面角 = 相临两个面的法向量夹角（或者等于它补角）（=相邻棱锥“体高”的夹角）（或者二内切半半径夹角）
过顶点O做 OO’,垂直于底面ABC于O’
过顶点O作OM ,垂直BC于M
2面角=∠O’OM的2倍
记α=∠O’OM
sinα=O’M/OM=AM/3OM=(AB根号3/2)/3OM=(根号3/6)AB/OM
=(根号3/6)(2-2cosθ)/cos(θ/2)-------------%%%
至此根据2结果显然目标已经不远
（将上式中的cos(θ/2)用 根号(cosθ+1/2)替换
然后全部的cosθ都用2。中的@@@式替换
得到
sinα=(根号6/3)[1-2cos(2π/5)]/根号[1-cos(2π/5)]---------&&&
将cos(2π/5)=sin18°=(-1+√5)/4代如 上式 ，得到：
sinα=(根号6/3)(3-根号5)/(5-根号5)
cosα=根号(1-sin方α)=。。。略
sin2α=2sinαcosα=。。。略
2α=arcsin.....略 -----------这个2α就是所求）
我把楼上结果重新写了一下，应该是对的。关键是引用了球面三角形面积公式S=πr方(s/π-1) ，其他全部是高中知识。

收起

[思路]
研究 由单独的一个面和体中心 组成的这个 正3棱锥
1。正3棱锥的顶立体角应该是 一个完全立体角的20分之一 也就是4π/20
2。然后通过这个 顶立体角 我们可以算出 正3棱锥任意侧面的顶角 和各种其他角度
3。因此我们可以容易地算出 相临两面的2面角（最后这部分用高中几何知识就可以解决）
[解]：
为了研究方便，我们取 顶点...

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[思路]
研究 由单独的一个面和体中心 组成的这个 正3棱锥
1。正3棱锥的顶立体角应该是 一个完全立体角的20分之一 也就是4π/20
2。然后通过这个 顶立体角 我们可以算出 正3棱锥任意侧面的顶角 和各种其他角度
3。因此我们可以容易地算出 相临两面的2面角（最后这部分用高中几何知识就可以解决）
[解]：
为了研究方便，我们取 顶点到体中心距离为1 的 正20面体来研究 （无论这个长度是多少，都不会影响最后要求的2面角角度，所以无所谓）
我们先取它的任意一个 面与体中心组成的 正3棱锥 来研究
1。 正3棱锥的顶立体角Ω= 4π/20 =π/5 （全立体角是4π，它被20个面所对应的20个正3楞锥的20个顶立体角所平分）
2。这部分是最麻烦的，我们先研究顶角与棱锥所对应的“球面三角形”面积的关系，这个面积就是立体角（因为半径是1）
我们将正3棱锥 表示成 正3棱锥O-ABC ， O为顶点，ABC为底边正三角形。记∠AOB=∠BOC=∠COA=θ
由于OA=OB=OC=1
所以由余弦定理可知 AB=BC=CA=2-2cosθ
作AP，BP垂直OC于P
记φ=∠APB就是 三棱锥两个侧面的2面角
过O作OQ垂直BC于Q
OQ=cos(θ/2)
由三角形OBC等面积 我们可以知道：
1/2 * BC * OQ = 1/2 * AC * BP
于是，我们求得
BP=(2-2cosθ)cos(θ/2)=AP
在三角形APB中，根据余弦定理，我们可以得到
cosφ=cos∠APB=[2cos方(θ/2)-1]/2cos方(θ/2)= cosθ/(cosθ+1)
cosφ= cosθ/(cosθ+1)
φ=arccos[cosθ/(cosθ+1)]----------------***
ABC在球面上形成的“球面三角形”（注意 球面三角形ABC 与 平面三角形ABC 是两码事）的面积 我们可以通过如下公式求得：
球面三角形面积公式：
S=πr方(s/π-1)-----------------------------###
其中S为球面三角形面积，r为球面半径，s为球面三角形内角和
现在关键是求这个内角和
这个内角和等于 球面三角形ABC在 点C上的角的三倍 （三个角是相等的 随便取哪个都一样）
点C上的角 等于面ABC ACB与 球面相交 得到的两条 相交圆弧 在C点上的 两条切线 的 夹角
由于OC垂直于 球面，所以这个夹角 就等于 AOC BOC 的2面成角
也就等于φ=∠APB
于是球面三角形ABC的内角和 s=3φ=3arccos[cosθ/(cosθ+1)]
代入面积公式得：
S=πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}
因为球半径为1，因此这个面积 就等于 锥体的顶立体角 π/5
即πr方{3arccos[cosθ/(cosθ+1)]/π-1}=π/5 (r=1)
我们把θ解出来：
cosθ=cos(2π/5)/[1-cos(2π/5)]------------@@@
3。我们来求 相临两面的2面角
这个2面角我们可以看作 是 一个棱锥 经过 旋转到 相临棱锥位置 所转动的角度。
所以这个2面角 = 相临两个棱锥的“体高”的夹角
（体高就是 顶点O到 底边中心 O’ 的连线）
还是对于刚才的3棱锥研究
过顶点O做 OO’垂直于底面ABC于O’
作AO’垂直BC于M
∠O’OM的2倍 就是我们要求的2面角
记α=∠O’OM
sinα=O’M/OM=AM/3OM=(AB根号3/2)/3OM=(根号3/6)AB/OM
=(根号3/6)(2-2cosθ)/cos(θ/2)-------------%%%
将上式中的cos(θ/2)用 根号(cosθ+1/2)替换
然后全部的cosθ都用2。中的@@@式替换
得到
sinα=(根号6/3)[1-2cos(2π/5)]/根号[1-cos(2π/5)]---------&&&
将cos(2π/5)=sin18°=(-1+√5)/4代如 上式 ，得到：
sinα=(根号6/3)(3-根号5)/(5-根号5)
cosα=根号(1-sin方α)=。。。略
sin2α=2sinαcosα=。。。略
2α=arcsin.....略 -----------这个2α就是所求。

收起